§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях

В этом параграфе будут получены условия, необходимые и (или) достаточные для того, чтобы уравнение

было неосциллирующим. В силу теоремы сравнения Штурма наиболее простое и одно из наиболее важных достаточных условий для того, чтобы уравнение (7.1) было неосциллирующим (или осциллирующим), состоит в том, что уравнение (7.1) имеет неосциллирующую (соответственно осциллирующую) мажоранту (соответственно миноранту) Штурма. Например, если (так что уравнение является мажорантой Штурма для (7.1)), то уравнение (7.1) является неосциллирующим. Если будет неосциллирующим или осциллирующим при в зависимости от того, будет ли или ; см. упр. 1.1(c). Таким образом, мы получаем следующий критерий:

Теорема 7.1. Пусть непрерывная вещественная функция для больших Если

то уравнение (7.1) является неосциллирующим [соответственно осциллирующим] при

Если же при то теорема 7.1 не применима. В этом случае, как видно из результата упр. 1.2, условие

(7.2) можно заменить условиями

или

Действительно, последовательность функций, приведенная в упр. 1.2, дает шкалу пробных функций, помогающих установить, является ли уравнение 7.1 осциллирующим или неосциллирующим при

Критерий, который формулируется в теореме сравнения Штурма, может быть представлен в следующей удобной форме:

Теорема 7.2. Пусть вещественная функция, непрерывная на Уравнение (7.1) является уравнением без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда существует непрерывно дифференцируемая функция при такая, что

Упражнение 7.1. Сформулируйте аналог теоремы 7.2 для случая, когда открыто, и для случая, когда замкнутое и ограниченное множество.

Замечание. Из результатов § 1 ясно, что справедлив аналог теоремы 7.2, если заменить (7.1) уравнением вида или при условии, что (7.3) заменено соответствующим дифференциальным неравенством Риккати или

Доказательство. Прежде всего, если уравнение (7.1) является уравнением без сопряженных точек на то оно имеет решение и которое положительно при см. следствие 6.1. В этом случае функция удовлетворяет уравнению Риккати

при Этим доказана необходимость.

Если существует непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяющая (7.3), обозначим через левую часть неравенства (7.3) при так что Тогда уравнение

является мажорантой Штурма для уравнения (7.1) при и в силу результата § имеет положительное решение

где Это показывает, что уравнение является уравнением без сопряженных точек при Для завершения доказательства мы должны еще показать, что если функция является решением уравнения (7.1), удовлетворяющим условиям и их то при Предположим, что это не так где Поскольку функция меняет знак при и решение уравнения (7.1) непрерывно зависит от начальных условий, отсюда следует, что если достаточно мало, то решение уравнения (7.1), удовлетворяющее условиям и имеет нуль вблизи Это противоречит тому, что уравнение (7.1) является уравнением без сопряженных Точек при Теорема доказана.

Упражнение Используя замечание, следующее за теоремой 7.2, покажите, что если в дифференциальных уравнениях

где коэффициенты являются вещественными функциями, непрерывными на такими, что

и если уравнение (7.52) имеет решение и удовлетворяющее условиям при то уравнение (7.54) будет уравнением без сопряженных точек на [Для дальнейших приложений в упр. 7.9 заметим, что условия, налагаемые на (7.52), выполняются, если уравнение (7.52) — уравнение без сопряженных точек на см. упр. 6.2.] (b) Пусть непрерывная и непрерывно дифференцируемая вещественные функции на отрезке Тогда уравнение

является уравнением без сопряженных точек на если существует вещественное шсло с, такое, что

при

Следствие 7.1. Пусть вещественная непрерывная на функция, С — постоянная и

Если дифференциальное уравнение

не имеет сопряженных точек на то уравнение (7.1) также не имеет сопряженных точек на

Упражнение 7.3. Покажите, что это следствие не имеет места, если коэффициент 4 в (7.8) заменить постоянной

Доказательство следствия 7.1. Если ввести в уравнение Риккати (7.4), соответствующее (7.1), новую переменную

так что то уравнение (7.4) перейдет в уравнение

Поскольку решение уравнения

на некотором интервале удовлетворяет неравенству

Дифференциальное уравнение (7.11) может быть записано в виде

Наконец, заметим, что (7.13) является уравнением Риккати для (7.8).

Таким образом, если уравнение (7.8) имеет решение и положительное на то функция удовлетворяет (7.13). Следовательно, удовлетворяет (7.12), а функция является решением дифференциального неравенства (7.3) на В силу теоремы 7.2, этим завершается доказательство следствия.

Упражнение 7.4. Парное к следствию 7.1 утверждение можно сформулировать следующим образом: пусть вещественная функция, непрерывная на отрезке Пусть — фиксированное число. Предположим, что функция

обладает тем свойством, что при всякое решение уравнения имеет нуль на полуинтервале Тогда решение и уравнения (7.1), удовлетворяющее условию и имеет нуль на

Один из основных результатов относительно уравнений (7.1), которые не являются осциллирующими при основан на следующей лемме.

Лемма 7.1. Пусть вещественная функция, непрерывная при и такая, что уравнение (7.1) является неосциллирующим при Тогда для некоторого (или для каждого) вещественного решения и О уравнения (7.1)

в том и только в том случае, когда существует конечный предел

Замечание. Важно отметить, что, как это будет видно из доказательства, условие (7.15) можно заменить более слабым условием

Другими словами, если уравнение (7.1) является неосциллирующим при то из (7.16) следует (7.15). В действительности из (7.16) вытекает даже более сильное соотношение:

Упражнение 7.5. Пусть функция удовлетворяет условиям леммы 7.1. Покажите, что

для какого-нибудь (или для каждого) вещественного решения уравнения (7.1) тогда и только тогда, когда

(Заметим, что (7.19) выполняется, если, например, при или для некоторого

Доказательство. Предположим вначале, что выполняется для какого-нибудь вещественного решения уравнения (7.1). Пусть значение больше наибольшего нуля функции (если такой существует). Положим при так что функция удовлетворяетуравнению Риккати (7.4). Интегрируя, получаем

при В силу (7.14), равенство можно записать в виде

где

Следовательно, из (7.21) вытекает (7.17) (с учетом неравенства для вещественных чисел Согласно неравенству Шварца [см. (7.22)], из (7.17) следует (7.15). Поэтому условие (7.15) необходимо для того, чтобы выполнялось (7.14).

Для доказательства обратного утверждения предположим, что выполняется (7.16), и вещественное решение уравнения (7.1) и при Тогда для выполняется (7.20), а интегрируя (7.20), получаем

Если выполнено условие (7.16), правая часть этого равенства ограничена сверху. Предположим, что (7.14) не имеет места; тогда второе слагаемое левой части стремится к при и

при больших В силу неравенства Шварца

и мы получаем неравенство

при больших Его можно записать в виде

Интегрируя, получаем, что при больших

Полученное противоречие показывает, что условие (7.14) обязательно выполняется. Теорема доказана.

Теорема 7.3. Пусть вещественная функция, непрерывная на Для того чтобы уравнение (7.1) было неосциллирующим при необходимо выполнение одного из следующих условий:

или условия последнем случае справедливо соотношение (7.17)).

Отсюда видно, что если, например, то необходимое условие для того, чтобы уравнение (7.1) было неосциллирующим при состоит в следующем: В действительности, как это видно из упр. 7.8, необходимо, чтобы при каждом

Доказательство. Предположим, что уравнение (7.1) является неосциллирующим при но условие (7.23) не выполняется, так что справедливо (7.16). Мы должны проверить справедливость условия (7.17). Но это ясно из доказательства леммы 7.1, которое показывает, что, с одной стороны, из (7.16) вытекает (7.14) для любого вещественного решения и уравнения (7.1), а с другой — что из справедливости условия для какого-нибудь одного решения вытекает (7.17).

Упражнение 7.6. Пусть функция будет такой же, как и в теореме 7.3, и, кроме того,

или выполняется более общее условие (7.19). Тогда для того, чтобы уравнение (7.1) было неосциллирующим при необходимо следующее: либо

либо интеграл

сходится (возможно, условно).

Упражнение Дайте примеры, показывающие, что условие (7.15) в теореме 7.3 совместимо с каждой из трех возможностей:

(b) Покажите, что если в теореме 7.3 функция полуограничена или даже выполняется более общее условие: существует такое что интеграл

то для того, чтобы уравнение (7.1) было неосциллирующим, необходимо выполнение одного из условий (7.15) или (7.25). См. Хартман [11].

Заменяя переменные в уравнении (7.1) и используя теорему 7.3 (и ее следствия), можно получить новые необходимые условия, при которых уравнение (7.1) не является осциллирующим. Это видно из следующего упражнения:

Упражнение Введите в (7.1) новые независимую и зависимую переменные, положив сформулируйте необходимые условия, при которых получающееся уравнение (а следовательно, и уравнение будет неосциллирующим при В частности, покажите, что если и уравнение (7.1) является неосциллирующим при то при всех

Следующий результат дает условие, совсем не похожее на (7.17) из теоремы 7.3, в случае, когда выполняется условие (7.15).

Теорема 7.4. Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы 7.3, так что уравнение (7.1) является неосциллирующим при

не имеет места (так что выполняется (7.15)). Тогда

где

Для приложений интересны случаи, когда выполняется (7.26), так что

Легко проверить, полагая при 11, что постоянная 4 в (7.28) не может быть заменена большей постоянной. Интересно отметить, что в доказательствах следствия 7.1 и теоремы 7.4 используется неравенство При доказательстве следствия 7.1 это неравенство используется при выводе (7.12) из (7.11); в доказательстве теоремы 7.4 — при переходе от (7.10) к неравенству

Доказательство. Пусть вещественное решение уравнения (7.1) и настолько велико, что и при Так как по предположению имеет место (7.15), то справедливо (7.14). Поэтому, если то, интегрируя соответствующее уравнение Риккати, мы получаем (7.21), как и при доказательстве леммы 7.1. Перепишем (7.21) в виде где

Поскольку то справедливо уравнение (7.10). Отсюда следует (7.31). В частности, если то

Заметим, что если то (7.33) имеет место, так как Поэтому (7.33) выполняется при Так как доказываемое утверждение тривиально в случае, когда при больших мы можем исключить этот случай из рассмотрения. Поэтому при больших следовательно, Таким образом, из (7.33) вытекает, что

Предположим, что (7.28) не имеет места. Тогда из (7.32), (7.34) видно, что

при где и произвольное вещественное решение уравнения (7.1). Покажем, что это приводит к противоречию. Для этого заметим, что

С помощью неравенства Шварца получаем, что

Следовательно, существуют такие постоянные что при больших Отсюда следует, что

для всех вещественных решений уравнения (7.1). Это противоречит существованию неглавных решений (см. теорему 6.4). Доказательство закончено.

Упражнение 7.9. Пусть в дифференциальных уравнениях

где функции вещественны и непрерывны при больших интеграл

сходится (быть может, условно), и уравнение (7.352) является неосциллирующим при Покажите, что уравнение (7.354) является неосциллирующим при