§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения

Однородное линейное уравнение второго порядка с вещественными коэффициентами, определенное на интервале называется осциллирующим (oscillatory) на если некоторое (или, что то же самое, если каждое) вещественное решение этого уравнения имеет на бесконечное множество нулей. Обратно, если каждое решение имеет не более конечного числа нулей на то уравнение называется неосциллирующим (nonoscillatory) на В последнем случае уравнение называется уравнением без сопряженных точек (disconjugate) на если каждое его решение имеет на не более одного нуля. Если граничная точка интервала (возможно, бесконечная) не принадлежит этому интервалу, то уравнение называется осциллирующим при когда некоторое (или каждое) вещественное решение имеет бесконечную последовательность нулей, сходящуюся к В противном случае уравнение называется неосциллирующим при

В приложении, §§ 10, 11, будут указаны обобщения многих результатов этого параграфа на уравнения высшего порядка или более общие системы уравнений.

Теорема 6.1. Пусть вещественные непрерывные функции на -интервале Уравнение

является уравнением без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда для каждой пары несовпадающих точек и произвольных чисел существует единственное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее условиям

или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда для каждой пары линейно независимых решений и уравнения (6.1)

для любых несовпадающих точек

Доказательство. Пусть линейно независимых решения уравнения (6.1). Тогда всякое решение имеет вид Это решение удовлетворяет (6.2) в том и только в том случае, если

Эти линейные уравнения относительно имеют решения при любых тогда и только тогда, когда выполнено (6.3), или, что равносильно, тогда и только тогда, когда система

имеет только тривиальное решение т. е. в том и талька втом случае, если единственным решением уравнения (6.1), обращающимся в нуль в двух точках является

Следствие 6.1. Пусть функции будут такими же, как в теореме 6.1. Если открытое или ограниченное и замкнутое множество, то уравнение (6.1) является уравнением без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда уравнение (6.1) имеет решение, строго положительное на Если полуинтервал (конечный или бесконечный), то уравнение (6.1) будет уравнением без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда существует решение, строго положительное внутри

Пример уравнения на показывает, что в последней части этой теоремы нельзя утверждать, что существует решение, строго положительное на всем

Упражнение 6.1. Выведите следствие 6.1 из теоремы 6.1 (другое доказательство намечено в упр. 6.6).

Упражнение 6.2. Пусть непрерывные на интервале функции, такие, что Уравнение (6.1) является уравнением без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда оно имеет решение и удовлетворяющее условиям и при

Весьма полезным критерием, позволяющим установить, что уравнение (6.1) есть уравнение без сопряженных точек, является «вариационный принцип», содержащийся в следующей теореме. Вещественная функция на подинтервале принадлежащем называется допустимой функцией класса [или ], если абсолютно непрерывна и ее производная принадлежит пространству при а непрерывно дифференцируема и

непрерывно дифференцируема на Положим

Если допустимая функция класса то первое слагаемое может быть преобразовано с помощью интегрирования по частям и потому

Теорема 6.2. Пусть вещественные непрерывные функции на -интервале Уравнение (6.1) является уравнением без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого ограниченного подотрезка принадлежащего функционал (6.4) положительно определен на [или для [соответственно тогда и только тогда, когда

Утверждение «только тогда» (необходимость) является более сильным в случае а утверждение «тогда» (достаточность) — в случае

Доказательство. Необходимость. Предположим, что уравнение -уравнение без сопряженных точек при Тогда в силу следствия 6.1 существует решение и положительное при Если положим Тогда

Интегрируя по частям [интегрируя и дифференцируя получаем, что первое слагаемое равно

Проинтегрированные члены обращаются в нуль, поскольку влечет за собой Из последних двух формул в силу того, что следует равенство

Ясно, что тогда и только тогда, когда Этим доказана необходимость.

Достаточность. Предположим, что функционал поло жительно определен на для любого Пусть решение уравнения (6.1), имеющее два нуля Докажем, что Действительно, поэтому справедливо равенство (6.5). Следовательно, поскольку решение уравнения (6.1). Так как функционал (6.4) положительно определен на отсюда следует, что Это означает, что уравнение (6.1) является уравнением без сопряженных точек на и теорема доказана.

Упражнение 6.3. Предположим, что незамкнутый ограниченный интервал. Покажите, что в теореме 6.2 уравнение (6.1) является уравнением без сопряженных точек на если

Упражнение 6.4. Выведите из теоремы 6.2 теорему Штурма о разделении нулей (следствие 3.1).

Если постоянная положительно определенная эрмитова матрица, то существует положительно определенная эрмитова матрица которая является «квадратным корнем» из в том смысле, что РРсм. упр. XIV. 1.2. Можно сформулировать аналог этого алгебраического утверждения для дифференциального оператора

Заметим, что равенство (6.5) можно записать в виде для см. (4.17). Следовательно, равенство (6.7) можно записать в виде

Вместе с квадратичным функционалом (6.4) рассмотрим билинейную форму

для Если интегрируя по частям, получаем, что

Если и решение уравнения (6.1) и на то, [как легко проверить, для

или

Поэтому, если определить дифференциальный оператор первого порядка следующим образом:

т. е.

мы получим, что

Следовательно, если оператор (т. е. функционал положительно определен на так что существует положительное решение уравнения (6.1) на то формально

В действительности это соотношение справедливо в следующем смысле:

Следствие 6.2. Пусть непрерывные на функции и уравнение (6.1) имеет решение на Пусть оператор определен формулой (6.8) и формально сопряженный к нему оператор

сж. § IV.8(viii). Тогда

для всех непрерывно дифференцируемых функций таких, что функция абсолютно непрерывна (т. е. для всея для которых обычно определяется оператор

Это утверждение можно вывести из равенства (6.9) или (более просто) доказать его непосредственно. См. в приложении обобщение этого результата.

Теорема 5.3 и ее доказательство имеют следующее следствие.

Теорема 6.3. Пусть вещественные непрерывные функции на t-интервале . Оператор является неосциллирующим на тогда и только тогда, когда каждая пара линейно независимых решений уравнения (6.1) удовлетворяет условию

Кроме того, уравнение (6.1) является уравнением без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда

для каждой пары вещественных решений и удовлетворяющих условию и каждого отрезка

Если полуоткрытый интервал, например и уравнение (6.1) неосциллирующее при то (6.1) имеет такие решения , для которых интеграл сходится, и такие решения, для которых этот интеграл расходится. Решение, удовлетворяющее последнему условию, называется главным решением уравнения (6.1) при

Теорема 6.4. Пусть вещественные непрерывные на функции, такие, что уравнение (6.1) является неосциллирующим при Тогда существует вещественное решение уравнения (6.1), определенное однозначно с точностью до постоянного множителя одним из следующих условий (в которых через обозначено произвольное вещественное решение, линейно независимое с

(ii) таковы, что

(iii) если больше самого правого нуля функции (если он существует) и их имеет один нуль или не имеет ни одного нуля при в зависимости оттого, выполняется ли условие

или условие

при в частности, (6.120 справедливо для всех близких к

Ясно, что в рассматриваются только такие значения которые больше самых правых нулей (если они существуют) функций Решение удовлетворяющее одному (а следовательно, и каждому) из условий будет называться главным решением уравнения (6.1) (при Решение и линейно независимое с будет называться неглавным решением уравнения (6.1) (при ). В силу (6.10), (6.11) термины «главный» и «неглавный» могут быть заменены терминами «малый» и «большой», однако мы не будем использовать их, поскольку они относительны. Рассмотрим, например, уравнения при Примерами главного и неглавного решений при для первого уравнения служат для второго для третьего см. упр. 1.1. Доказательство утверждения (ii) приводит к такому результату:

Следствие 6.3. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.4. Пусть какое-либо вещественное решение уравнения (6.1), и пусть значение больше, чем его последний нуль. Тогда

— неглавное решение уравнений (6.1) при Если, далее, неглавное решение уравнения (6.1), то

является главным решением при Доказательство теоремы 6.4.

(i) Пусть два вещественных линейно независимых решения уравнения (6.1) и

Если значение больше наибольшего нуля функции (если он существует), то (6.15) эквивалентно

при Поэтому функция монотонна на этом отрезке и существует предел

причем С может принимать значения

Покажем, что могут быть выбраны так, что в Если после этого положить а то утверждение (i) будет доказано. В самом деле, решение линейно независимо с тогда и только тогда, когда оно имеет вид в этом случае равенство влечет за собой так что при

Если в (6.17), то после перестановки будет выполняться при Если то следует обозначить функцию и через и тогда (6.15) будет справедливо, а (6.17) будет выполняться при Доказательство закончено.

(ii) Заметим, что в силу (6.16) и (6.17)

вне зависимости от того, будет ли или Если взять в качестве пару так что то выполняется Если же за принять пару так что то выполняется (6.110).

Доказательство следствия 6.3. Заметим, что если решение уравнения (6.1) при то (6.13) определяет решение линейно независимое и то же верно в отношении (6.14), если интеграл сходится; см. § 2 (ix). В силу отсюда вытекает следствие 6.3.

(iii) Поскольку можно заменить на соответственно, не меняя нулей и неравенств (6.12), мы будем предполагать, что

Умножая (6.12) на видим, что в (6.15), где постоянная в зависимости от того, выполняется ли (6.120) или Поэтому при в соответствии с тем, какое из неравенств (6.120) или (6.124) имеет место. Так как а по теореме Штурма о разделении нулей функция имеет при не более одного нуля, отсюда вытекает утверждение о нуляхфункции при

Остается доказать, что свойство (iii) характеризует главное решение, т. е. если обладает свойством (iii) для любого

решения линейно независимого с то является главным решением. В частности, (6.124) выполняется для близких к Следовательно, при Это приводит нас к противоречию, если не является главным решением, а в качестве выбрано главное решение.

Упражнение 6.5. Предположим, что (i) выполнены предположения теоремы 6.4; (ii) уравнение (6.1) имеет вещественное решение, не имеющее нулей при единственное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее условиям где см. теорему Покажите, что при решения сходятся к равномерно на компактных интервалах из и является главным решением уравнения (6.1) при удовлетворяющим условию Докажите, что (а) неверно, если условие (ii) заменить более слабым условием, потребовав, чтобы уравнение (6.1) было уравнением без сопряженных точек при

Упражнение 6.6. Пусть вещественные непрерывные функции и уравнение (6.1) является уравнением без сопряженных точек на -интервале У, содержащем точку в качестве правого конца. Пусть главное решение уравнения (6.1) при Тогда внутри У.

Из теоремы сравнения Штурма вытекает, что условие является достаточным для того, чтобы уравнение (6.1) было уравнением без сопряженных точек на У. В этом случае мы можем дать некоторую дополнительную информацию о главном решении.

Следствие 6.4. Пусть непрерывные функции на Тогда уравнение (6.1) имеет главное решение, удовлетворяющее условиям

и неглавное решение такое, что

Упражнение В следствии (6.4) условия (6.19) однозначно определяют с точностью до постоянного множителя тогда и только тогда, когда

(b) Предположим, что выполнено первое из равенств (6.21). Используя следствие 9.1» покажите, что главное решение, о котором

говорилось в следствии 6.4, удовлетворяет условию при тогда и только тогда, когда

Обобщения, следствия и другое доказательство следствия 6.4 приведены в §§ XIV. 1 и 2.

Доказательство. Предположим сначала, что так что уравнение (6.1) имеет вид

где График каждого решения уравнения (6.22) в плоскости переменных вогнут вверх в точках, где Пусть решение уравнения (6.22), определяемое условиями и Тогда график функции является вогнутым вверх при В частности, и так что Поэтому интеграл сходится, так что является неглавным решением уравнения (6.22). В силу следствия 6.3, функция

будет главным решением уравнения (6.22). Дифференцируя эту формулу, получаем

Так как функция и неубывающая, то

Отсюда получаем (6.19). Случай можно свести к рассмотренному случаю с помощью замены независимой переменной (1.7). Этим завершается доказательство.

Упражнение 6.8. Дайте доказательство той части следствия 6.4, которая относится к основываясь на следующих соображениях. Пусть решение уравнения (6.1), удовлетворяющее условиям см. теорему 6.1. Покажите, что при существует равномерно на компактных интервалах из является главным решением уравнения (6.1) и удовлетворяет (6.19); см. упр. 6.5.

Следствие 6.5. Пусть в дифференциальных уравнениях

где функции вещественны и непрерывны на и уравнение (6.232) является мажорантой Штурма для т. е.

Пусть уравнение следовательно, и является уравнением без сопряженных точек, а — вещественное решение уравнения (6.232). Тогда уравнение (6.234) имеет главное и неглавное решения, такие, что

для всгл; следующих за последним нулем функции (если такой существует).

Грубо говоря, это следствие утверждает, что главное (соответственно неглавное) решение уравнения (6.230 меньше (больше), чем главное (неглавное) решение уравнения (6.232). Если и функции нормализованы с помощью подходящих множителей, то из (6.25) следует, что для близких к

Упражнение 6.9. В следствии 6.5 главное решение уравнения (6.23 удовлетворяет условию В частности, если в то главное решение уравнения (6.1) удовлетворяет условию

Доказательство. Случай Предположим, что при . С помощью вариации постоянных уравнение преобразуется (см. (2.31) в § 2 (xii)) в уравнение

где

В силу следствия 6.4, уравнение (6.26) имеет решения удовлетворяющие условиям при Искомыми решениями уравнения (6.234) являются .

Случай Функция удовлетворяет уравнению Риккати соответствующему (6.232);

см. § 2(xiv). Это уравнение может быть записано в виде

где Но (6.28) — это уравнение Риккати, соответствующее уравнению

которое является мажорантой Штурма для Кроме того, уравнение (6.29) имеет решение [см.

для которого выполняется соотношение

Применяя случай 1 к (6.234), (6.29), получаем искомый результат. Упражнение 6.10. Пусть в дифференциальных уравнениях

где функции непрерывны при пусть Предположим, что решение уравнения (6.304), такое, что и при см. следствие 6.4. Тогда уравнение (6.302) имеет решение такое, что и (в действительности даже такое, что при

Следующий результат является теоремой о «выборе» или о «непрерывности» главного решения.

Следствие 6.6. Пусть — непрерывные функции при такие, что

и

равномерно на каждом замкнутом интервале из При обозначим через главное решение уравнения

удовлетворяющее (6.19) а

Тогда существует татя последовательность положительных чисел что предел

существует равномерно на каждом замкнутом интервале из а и является решением уравнения удовлетворяющим (6.19) и (6.34).

Разумеется, выбор подпоследовательности будет излишним (т. е. можно положить ), если уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее (6.19) и (6.34); см. упр. 6.7.

Упражнение 6.11. Утверждение следствия 6.6 становится неверным, если заменить условие предположением о том, что уравнение (6.33) неосциллирующее, а условие (6.19) удалено как из посылки, так и из заключения этого следствия.

Доказательство. Пусть и решение уравнения (6.33), определяемое условиями

Тогда (6.20) выполняется и является неглавным решением уравнения (6.337); см. доказательство следствия 6.4. Поэтому, в силу следствия 6.3, главное решение уравнения (6.337), удовлетворяющее (6.34), задается формулой

где

Дифференцируя (6.37), получаем

так что при имеем

Поэтому последовательность ограничена, если

Для того чтобы проверить (6.39), заметим, что (6.36) и предположение относительно (6.32) влекут за собой равномерную сходимость

ил при на замкнутых интервалах из множества Поэтому в силу (6.38)

для всякого фиксированного Отсюда вытекает (6.39).

Так как последовательности чисел при ограничены, существуют сходящиеся подпоследовательности. Если индексы такой последовательности и

то из предположения (6.32) вытекает, что сходимость в (6.35) равномерна на каждом отрезке где решение уравнения удовлетворяющее условиям Решение очевидно, удовлетворяет (6.19) и (6.34). Этим завершается доказательство следствия 6.6.