ЧАСТЬ II. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОД КОШИ)

§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных

для вещественной функции от независимых переменных, где (и, вещественная функция от переменных, изменяющихся в открытом множестве Решением уравнения (7.1) называется функция класса определенная в некотором открытом -множестве и такая, что точки принадлежат и обращают (7.1) в тождество относительно у. Здесь обозначает градиент функции и

Вообще говоря, обычно ищут решение, принимающее на какой-нибудь гиперповерхности заранее заданные значения, т. е. решают так называемую задачу Коши (7.1). Сформулируем ее точнее. Пусть кусок -гиперповерхности в -пространстве, т. е. 5 есть множество точек

где принадлежит в окрестности точки классу и ранг матрицы равен Пусть на задана функция или, что равносильно, пусть задана функция где у изменяется вблизи Тогда «начальное условие» состоит в том, что на поверхности решение должно обращаться в т. е.

Теоремы существования, которые мы докажем, будут локальными в том смысле, что они дают решения определенные

только для у, близких к Мы будем пользоваться так называемым методом характеристик, который принадлежит Коши и часто называется его именем. С помощью этого метода поставленная задача сводится к задаче теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для систем уравнений в частных производных первого порядка аналога этого метода не существует.

Введем обозначения: Точка будет обозначать обычное скалярное произведение двух -мерных векторов.

Для того чтобы разъяснить идею применяемого метода, рассмотрим следующие эвристические рассуждения для частного случая линейного уравнения (7.1) в частных производных, имеющего вид

т. е. не зависит от и представляется в виде Если решение уравнения (7.4), решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

то из (7.4) видно, что и Решения системы (7.5) называются характеристиками дифференциального уравнения в частных производных (7.4).

Предположим, что ни одна характеристика не касается поверхности Для заданной в виде (7.2), это условие может быть выражено так:

Здесь обозначает -матрицу, первые столбцов которой составляют -матрицу Якоби а последний столбец есть вектор

В этом случае поверхность называется нехарактеристической. Совокупность характеристик, исходящих из точек поверхности заполняет в -пространстве (малую) область Значение и решения и в точке должно быть тем же самым, что и заданное значение функции в начальной точке характеристики, проходящей через у, см. рис. 1. Обратно, следует ожидать, что функция и определенная в таким образом, должна быть решением задачи (7.3) — (7.4). При подходящих условиях гладкости на это действительно так; см. § V. 12 по поводу соотношений между решениями уравнения (7.4) и первыми интегралами системы (7.5).

Рассмотрим вместо линейного уравнения (7.4) более сложное, скажем квазилинейное, уравнение [т. е. уравнение, в которое

частные производные высшего первого) порядка входят линейным образом]

Пусть нам известно его решение рассмотрим решение системы (7.5), в которой справа стоит

Рис. 1.

Тогда из уравнения следует, что Тем самым мы приходим к системе обыкновенных (автономных) дифференциальных уравнений

в которой правые части суть функции только от и (т. е. от они не зависят). Далее мы увидим, что задача Коши для квазилинейного уравнения может быть сведена к задаче Коши для системы (7.8).

Определим характеристики для случая общего нелинейного уравнения (7.1). Вообще говоря, по отношению к решению они уже не будут его линиями уровня, как это было в линейном случае. Предположим, что в (7.1) функция (и, принадлежит классу в некотором открытом (и, -множестве, а классу Можно освободиться от «нелинейности» уравнения (7.1), продифференцировав (7.1) по какой-либо фиксированной компоненте вектора у. Тогда для и мы получим квазилинейное уравнение второго порядка, т. е. уравнение, линейное относительно вторых частных производных от и. Это уравнение формально может быть записано как уравнение первого порядка, квазилинейно-относительно

Тогда, по аналогии с рассмотренным выше, мы приходим к обыкновенным дифференциальным уравнениям

к которым можно добавить уравнение или

Эти дифференциальные уравнения для не зависят от Положив получаем систему автономных обыкновенных дифференциальных уравнений для которые могут быть переписаны так:

где аргумент в функциях равен так что они не зависят от Решение системы (7.9) называется характеристической полосой, а проекция решения на -пространство называется характеристикой. Условие вида

гарантирует от вырождения характеристики в точку. «Вывод» системы (7.9) будет получен как формальный результат в лемме 8.2.

Решение задачи Коши (7.1), (7.3) не может существовать, если на не существует вектора являющегося в точке градиентом функции и и удовлетворяющего условиям

Последнее условие получается в результате дифференцирования равенства (7.3) по В частности, существует вектор такой, что

Предположим, что «начальные данные не являются характеристическими в точке т. е. что

где первые столбцов матрицы в левой части (7.15) состоят из векторов последний столбец

есть Тогда по теореме 1.2.5 о неявной функции из (7.13), (7.14), (7.15) и из условий следует, что система (7.11) — (7.12) имеет в окрестности точки единственное решение класса которое обращается в при

Заметим, что в нелинейном случае мы не можем говорить о том, что «поверхность является нехарактеристической», но можно лишь сказать, что «начальные данные являются нехарактеристическими». Начальные данные состоят из поверхности функции вектора и (при выполнении неявной функции По непрерывности из (7.15) следует, что

для близких Когда имеет место неравенство (7.16), начальные данные называются нехарактеристическими.

Упражнение 7.1. Предположим, что в (7.1) не зависит от и. Каков вид системы (7.9) для характеристической полосы? Покажите, что определение и по (7.9) сводится к квадратурам.

Задача Коши (7.1), (7.3) часто рассматривается в другой форме, которую мы сейчас и получим. Она будет использована в § 11. Предположим, что поверхность из (7.2) принадлежит классу Без потери общности можно считать, что и что в (7.2) задана в виде где для значений вблизи Если

введены как новые координаты, которые мы снова будем обозначать через у, то в новых координатах представляет собой вблизи точки кусок гиперплоскости Уравнение (7.1) преобразуется в другое уравнение того же вида, хотя, например, может случиться, что если исходная функция принадлежит то новая функция имеет непрерывные первые и вторые производные, за возможным исключением производных вида Условие (7.15) в новых координатах принимает вид Таким образом, если выполнено условие (7.13), то из уравнения можно найти через и, скажем по формуле и тогда уравнение (7.1) будет эквивалентно уравнению для значений близких к

Значит, если изменить обозначения, заменив на на то задача Коши принимает вид

где искомая, а заданная начальная функции,

Упражнение 7.2. (а) Запишем как , где Найдите дифференциальные уравнения для характеристических полос дифференциального уравнения (7.17), используя как независимую переменную. (b) Упростите результат части предполагая, что не зависит от а. (Заметим, что в том случае, когда есть гамильтонова функция, уравнение (7.17) является уравнением Гамильтона — Якоби и нетривиальные части соответствующих уравнений характеристической полосы представляют собой уравнение движения в гамильтоновой форме.)