§ 10. Лемма Хаара и единственность

Пусть задача (7.1), (7.3) заменена задачей (7.17), (7.18), т. е. задачей

Из теоремы 9.1 следует, что если в открытой области содержащей точку для у, близких к то задача (10.1), (10.2) при малых имеет единственное решение класса Вопрос о единственности решений задачи (10.1), (10.2) оказывается весьма простым.

Теорема 10.1. Пусть определена в открытом множестве содержащем точку и удовлетворяет условию Липшица относительно Пусть есть функция класса удовлетворяющая условиям Тогда задача (10.1), (10.2) имеет в окрестности точки самое большее одно решение.

Теорема доказывается путем применения следующей ниже леммы (при к разности двух решений

Лемма 10.1. Пусть вещественная функция класса на множестве удовлетворяющая следующим условиям:

где обозначают некоторые постоянные. Тогда на

См. рис. 2.

Доказательство. Пусть произвольные постоянные, причем

Положим

так что

Покажем, что на

откуда предельным переходом получается неравенство

Замена на в этом рассуждении дает нам в итоге (10.5).

Из (10.3), (10.6) и (10.7) ясно, что при малых

Рис. 2. Случай

Если в неравенство (10.9) неверно, то найдется точка где такая, что неравенство (10.9) остается справедливым в части с условием а в точке будет иметь место равенство.

Для любого из выборов знаков точки отрезков

находятся в при и так как см. рис. 2. Разность и в точках (10.11)

положительна для и равна нулю при Следовательно, производная разности и вдоль линии (10.11) в точке неположительна. Отсюда

Из (10.8) имеем так что при Этот факт и равенство приводят к неравенству

Если знаки выбраны так, что в точке то полученное неравенство противоречит (10.4), так как Тем самым (10.9) имеет место всюду в и лемма доказана.

Упражнение Пусть В обозначает -множество

где Пусть и вещественная функция класса определенная на В. Положим и где максимум берется по множеству Тогда имеет правую производную и существует точка такая, что в ней и

Пусть функция непрерывна для и такова, что является единственным решением уравнения определенным в и удовлетворяющим условиям и при Пусть непрерывна для значений ( близких и

Пусть для малых Тогда задача (10.1), (10.2) имеет в области самое большее одно решение.

Упражнение Пусть В обозначает ограниченное -множество, определяемое неравенствами где суть вещественные функции класса Предположим, что каждая граничная точка множества В лежит или на или на из гиперповерхностей кроме того, если гиперповерхностей скажем, имеют общую точку то

дифференциальных где являются в точке линейно независимыми. Пусть функция определена в -мерной области проекция которой на - пространство содержит множество Пусть вещественные функции класса на В, такие, что Предположим, что на и что и Наконец, предположим, что в каждой граничной точке множества общей А гиперповерхностям имеет место неравенство

справедливое для всех неотрицательных чисел таких, что Тогда всюду на выполняется неравенство см. Нагумо [3]. (b) Пусть же самое -множество, что и в упр. Пусть функция Я ( определена на -мерном множестве проекция которого на -пространство содержит и пусть . Пусть функции принадлежат на В классу и таковы, что: 1) Тогда всюду на имеет место неравенство Получите из утверждения (b) лемму 10.1.

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)