§ 2. Отображения Т

(i) Рассмотрим единственное решение следующей задачи с начальным условием:

Так как решение соответствующее определено для всех то существует на сколь угодно большом интервале если норма достаточно мала; см. теорему

При фиксированном решение определяет отображение пространства переменных I в себя. Множество отображений можно рассматривать как абелеву группу в том смысле, что если настолько мало, что функция определена на отрезке, содержащем значения то для этого

поскольку система (2.1) имеет единственное решение.

(ii) Рассмотрим преобразование переменных принадлежащее классу вместе с обратным отображением Тогда (2.1) переходит в систему

где при матрица Якоби: Вообще говоря, функция не принадлежит классу Система (2.3) имеет, конечно, единственное решение поскольку это верно для системы (2.1), а отображение взаимно однозначно. Отображение совпадает с отображением

Это легко можно установить, рассматривая действие преобразования В самом деле, точка это решение системы (2.1) при фиксированном Следовательно, это решение системы (2.3) при фиксированном

В силу теоремы функция принадлежит классу а ее матрица Якоби по переменным является решением следующей линейной задачи Коши:

Если, в частности,

и, значит,

Поэтому разложение функции по переменным фиксированном имеет вид

где