§ 9. Доказательство теоремы 7.1

При доказательстве этой теоремы мы будем предполагать, что имеет собственных значений с отрицательными вещественными частями и собственных значений с положительными вещественными частями. (Случай, когда или более прост и формально может быть получен из общего случая, если добавить фиктивные компоненты к вектору После предварительной нормализации можно предполагать, что отображение имеет вид (4.10) при всех причем выполняется (4.11), при справедливы соотношения (4.12) и (4.13) и матрицы удовлетворяют предположениям леммы 8.1.

Можно также считать настолько малым, что лемма 8.1 и следующее за ней замечание применимы к Обозначим через отображение, существование которого утверждается в лемме 8.1, так что Положим

Тогда

Если принять за переменную интегрирования, то последний интеграл будет иметь вид

В первом из этих интегралов подинтегральное выражение можно записать так:

поскольку Отсюда и из (9.2) получаем

Таким образом, для завершения доказательства достаточно проверить, что взаимно однозначно и отображает -пространство на -пространство. Для этого представим в виде

где

Из (9.1) и справедливости равенств (4.13) при вытекает существование таких положительных постоянных что

Рассуждения, использованные в предыдущего параграфа, и равенство (9.3) при показывают, что взаимно однозначно и отображает -пространство на (и, -пространство. Следовательно, теорема 7.1 вытекает из (9.3).