§ 9. Последовательные приближения

После того как доказана теорема II. 1.1, естественно поставить вопрос: всякое ли решение задачи Коши

может быть получено как предел последовательности (или подпоследовательности) приближений, определенных в ? Ответ в общем случае отрицательный, как это будет видно из следующего примера:

в котором — скаляр, а функция будет определена для и всех и.

Возьмем нулевое приближение и положим

Пусть тогда Положим откуда Наконец, положим так что Тогда для для Для получения желаемого примера остается только доопределить для всех и как непрерывную функцию.

Один из возможных способов состоит в следующем. Положим если если а для при фиксированном определим как линейную функцию от и. Таким образом мы получаем пример, в котором не возрастает относительно и (при фиксированном 0). Тогда решение задачи (9.2) единственно (следствие 6.3), но ни одна подпоследовательность последовательных приближений к нему не сходится.

Однако оказывается, что если решение задачи Коши (9.1) единственно в силу того, что выполнены условия теоремы 6.1, то последовательные приближения сходятся к этому решению.

Теорема 9.1. Пусть удовлетворяют предположениям теоремы в области Тогда функции

определены на отрезке и равномерно сходятся на нем к решению задачи Коши (9.1).

Доказательство. Согласно результату упр. 6.5, можно считать, что непрерывна в замыкании и при фиксированном

не убывает относительно и. Последовательность приближений (9.3) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на и потому она обладает равномерно сходящейся подпоследовательностью. Если предположить, что при то из (9.3) следует, что предел любой такой подпоследовательности является единственным решением задачи (9.1). Отсюда вытекает, что и вся последовательность равномерно сходится к ; см. замечание 2 к теореме 1.2.3. Таким образом, остается только доказать, что где

Так как

Для больших значений правая часть этого неравенства не превосходит величины где Следовательно, Так как произвольно мало и можно поменять местами, то В частности, непрерывна для

В силу соотношений (9.3),

Отсюда, в силу неравенства (6.3),

Для любого фиксированного из можно найти последовательность целых чисел такую, что при и по этим же равномерно существует предел Поэтому

Так как монотонна по и, то

В силу следствия где -максимальное решение задачи Коши

Так как эта задача имеет единственное решение то Доказательство теоремы завершено.

Упражнение 9.1. Покажите, что в предположениях упр. последовательные приближения (9.3), где равномерно сходятся для к решению задачи Коши

Упражнение 9.2. Пусть для векторов запись означает, что Пусть Предположим, что непрерывна в области и что при Определим на две последовательности последовательных приближений где

Покажите, что и что обе последовательности сходятся равномерно к некоторым решениям задачи Покажите, что могут быть заменены непрерывными на функциями Удовлетворяющими условиям и

(например, если можно взять

Упражнение Пусть непрерывна и всех у, а при удовлетворяет условию (обозначение см. в упр. 9.2). Пусть является решением системы удовлетворяющим при неравенству см., например, Рассмотрим последовательные приближения определенные соотношениями для Пусть обозначает «ошибку», т. е. Покажите, что для для (Сходимость последовательных

приближений не утверждается.) (b) Пусть обозначает частичную сумму ряда Маклорена для Покажите, что для

Упражнение 9.4. Пусть вещественна и непрерывна для и произвольного и. Предположим, что функция при фиксированном является неубывающей по и. Пусть фиксированные числа, решение уравнения Определим для и последовательные приближения, положив и

Функции определены для Предположим, что и на своем правом максимальном интервале существования удовлетворяет условию и Покажите, что и что «ошибка» удовлетворяет неравенствам для (Сходимость последовательных приближений не утверждается.) (Ь) Пусть

обозначают частичные суммы рядов Маклорена для соответственно. Покажите, что

для Пусть функция где непрерывна и не убывает при Используя теорему и следующие за ней замечания, покажите, что утверждение (а) справедливо, если (т. е. покажите, что для

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)