§ 8. Характеристики

Установим теперь связь между решениями уравнения (7.1) и характеристическими полосами или характеристиками.

Лемма 8.1. Пусть принадлежит классу Тогда является первым интегралом системы (7.9), постоянна вдоль любого решения этой системы.

Доказательство. Достаточно проверить следующее: если решение системы (7.9), то производная функции равна 0. А это эквивалентно очевидному равенству

Лемма 8.2. Пусть в открытом множестве и пусть функция является решением уравнения (7.1) в открытом множестве Тогда для существует характеристическая полоса и определенная для малых и такая, что и

В частности, в -пространстве дуга лежит на гиперповерхности и вектор совпадает с нормалью к этой гиперповерхности в точке Следовательно, если является решением уравнения (7.1), то гиперповерхность можно рассматривать как поверхность, составленную из характеристик.

Следствие 8.1. Если решения задач Коши, поставленных для системы (7.9), единственны (например, если суть два решения уравнения (7.1), «касающиеся» друг друга в точке они «касаются» друг друга вдоль всей характеристической дуги

Доказательство леммы 8.2 представляет собой повторение «вывода» уравнений (7.9). Рассмотрим решение следующей задачи Коши:

Дифференцирование уравнения дает

Положим Тогда из (8.1) следует, что (8.2) можно считать компонентой вектора где аргумент в есть Кроме того, если то равно в силу (8.1). Таким образом, функции являются решением уравнений (7.9). Лемма доказана.

Замечание. Справедливость леммы 8.2 при условии и до сих пор не установлена. В этом направлении есть частичный результат для и полный ответ для

Упражнение 8.1. Пусть решение уравнения (7.1) в окрестности точки Пусть фиксировано, Покажите, что существует такое решение задачи Коши

что функция имеет непрерывную производную по удовлетворяющую равенству где аргумент в есть В частности, если решение задачи Коши единственно (так что в утверждении (а) не зависит от то лемма 8.2 справедлива. (Это утверждение применимо, например, если зависит от линейно.) Если в точке то результат леммы 8.2 справедлив (при условии, что

Упражнение 8.2. Пусть принадлежат классу в открытой -области. Определим функцию равенством

(Если линейны относительно и не зависят от и, то соответствует «коммутатору» определенному в упр. 1.1.) Пусть и есть решение обоих уравнений некоторой -области Покажите, что если дополнительно известно, что и принадлежит классу то и также является решением

уравнения Покажите, что если и и через каждую точку проходит характеристическая полоса для как в лемме 8.2 (например, если упр. применимо), то является решением уравнения