§ 8. Линейные уравнения высших порядков

В этом параграфе мы будем считать непрерывными вещественными или комплексными функциями, определенными на отрезке Будут рассмотрены линейное однородное уравнение

и соответствующее ему неоднородное уравнение

Эти уравнения можно свести к рассмотренным выше системам (1.1) и (1.2), если положить где

Однако представляется полезным привести здесь некоторые существенные факты, относящиеся к этому важному частному случаю.

(i) Задача Коши и для уравнения (8.2), где суть произвольно заданных чисел, имеет единственное решение существующее на всем отрезке В частности, если уравнение (8.2) заменить уравнением (8.1) и считать, что то и отсюда следует, что ни одно решение и уравнения (8.1) не может иметь на отрезке бесконечное множество нулей.

(ii) (принцип суперпозиции), (а) Пусть -два решения уравнения (8.1). Тогда любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами также является решением уравнения (8.1). (Ь) Если являются соответственно решениями уравнений (8.1) и (8.2), то функция является решением уравнения (8.2); обратно, если их являются решениями уравнения (8.2), то является решением уравнения (8.1).

Если функции обладают непрерывными производными вплоть до порядка то их вронскианом, или определителем Вронского называется

определитель

Совокупность непрерывных функций на отрезке называется линейно зависимой, если существуют постоянных все из которых равны нулю, такие, что для всех В противном случае функции называются линейно независимыми. Ясно, что если функции имеют непрерывные производные до порядка то необходимым условием их линейной зависимости является тождественное обращение в нуль их вронскиана: Ясно также, что обратное утверждение неверно (например, могут быть линейно независимыми на отрезке если для для хотя для Для решений уравнения (8.1) справедливо, однако, следующее утверждение:

(iii) Пусть решения уравнения (8.1) и их вронскиан. Тогда

линейно зависимы тогда и только тогда, когда вронскиан равен нулю хотя бы в одной точке, причем в последнем случае для всех

Формула (8.4) в силу (8.3) является частным случаем формулы (1.5). Последняя часть утверждения (iii) является следствием единственности (i) и принципа суперпозиции

(iv) Пусть суть линейно независимых решений уравнения (8.1). Тогда (8.1) эквивалентно уравнению

относительно неизвестного Когда уравнение (8.5) сводится к уравнению

Если известны линейно независимых решений уравнения (8.1), можно воспользоваться соотношением (2.5) для

нахождения формулы, дающей решения уравнения (8.2) в квадратурах. Это сразу же следует из легко проверяемого утверждения:

(v) Пусть для некоторого фиксированного функция является решением уравнения (8.1), определяемым при начальными условиями

и пусть — произвольное решение уравнения (8.1). Тогда функция

является решением уравнения (8.2), удовлетворяющим при следующим условиям:

Из (1.7) и леммы 1.2 нетрудно получить, что и и ее первые производных по непрерывны относительно для а Поэтому, в частности, интеграл в (8.7) существует и является функцией, имеющей непрерывных производных по допускающих вычисление по обычным формальным правилам. Прямая проверка с подстановкой (8.7) в (8.2) показывает, что функция (8.7) является решением уравнения (8.2), удовлетворяющим указанным выше начальным условиям.

(vi) Рассмотрим дифференциальное уравнение

с постоянными коэффициентами Уравнение

называется характеристическим по отношению к уравнению (8.8).

Если ввести вектор , то уравнение (8.8) эквивалентно системе (5.1), где обозначает постоянную матрицу, равную

Заметим, что компоненты вектора у выписаны в порядке, обратном тому, который рассматривался при сведении (8.1) к (1.1).

Легко проверить, что функция является решением уравнения (8.8) тогда и только тогда, когда корень уравнения (8.9). Действительно, уравнение (8.9) совпадает с характеристическим уравнением для Чтобы убедиться в этом, рассмотрим соотношение где Мы видим, что это

соотношение имеет место в том и только в том случае, когда удовлетворяет (8.9) и где с — некоторая постоянная. Таким образом, является собственным значением матрицы тогда и только тогда, когда удовлетворяет (8.9). Отсюда следует, что если корни уравнения (8.9) различны, то (8.9) является характеристическим уравнением для Если же все или некоторые его корни совпадают, то коэффициенты в (8.9) и соответственно в (8.10) можно добавлением произвольно малых величин изменить так, чтобы получающееся в результате уравнение имело различные корни и чтобы оно тем самым было характеристическим уравнением для измененной матрицы Устремляя к нулю упомянутые выше добавки к мы получим требуемое утверждение.

Упражнение 8.1. Получите индукцией по другое доказательство того, что уравнение (8.9) совпадает с (Еще одно доказательство получается из упр. 8.2.)

Если является корнем уравнения (8.9) кратности то функции являются решениями уравнения (8.8). Чтобы проверить это, обозначим через выражение, получающееся в левой части уравнения (8.8), если в него подставлена любая функция и, имеющая непрерывных производных. Таким образом, (8.8) эквивалентно уравнению Обозначим через полином, стоящий в правой части уравнения (8.9), так что при рассматриваемом значении Заметим, что и так как коэффициенты уравнения (8.8) постоянны, то для и данного значения

Таким образом, если суть различные корни уравнения (8.9) и если обозначает кратность корня то формулами определяются решений уравнения (8.8).

Упражнение Покажите, что функции где линейно независимы. (Ь) Пусть фундаментальная матрица для уравнения столбцы которой являются решениями-векторами соответствующими функциям и (или следующем порядке: первые столбцы соответствуют номерам затем идут и т.д. Пусть в обозначениях § 5. Покажите, что т.е. что или, что эквивалентно, В частности, матрица является для нормальной жордановой формой, (с) Для другого Доказательства и для использования этого факта в

доказательстве теоремы покажите, что

(vii) Если коэффициенты уравнения (8.1) являются периодическими с периодом то соответствующая линейная система (1.1) первого порядка в силу (8.3) также имеет периодические коэффициенты с периодом и тогда применимы результаты § 6.

(viii) (сопряженные уравнения). Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка

с комплекснозначными коэффициентами, заданными на отрезке где функция имеет непрерывных производных, Уравнение, сопряженное к (8.12), по определению имеет следующий вид:

Заметим, что интегрирование по частям дает равенство

применяя его повторно, получаем

Таким образом, если имеют непрерывные производные вплоть до порядка и

то

Это так называемая формула Грина. Ее дифференциальная форма

называется тождеством Лагранжа.

Из (8.15) следует, что если суть решения соответственно уравнений (8.12) и (8.13), то

(ix) (факторизация по Фробениусу). Предположим, что уравнение (8.1) имеет решений таких, что

Тогда уравнение (8.2) можно переписать в таком виде:

где Это утверждение вытекает из следствия 4.1.

Упражнение 8.3 (Пойя). Пусть коэффициенты уравнения (8.1) непрерывны на Если функция имеет на этом же отрезке непрерывных производных, то положим

так что уравнение (8.2) принимает вид Если функция имеет непрерывных производных и то точка будет называться нулем функции порядка по меньшей мере Будем говорить, что уравнение (8.1) обладает на интервале свойством если (8.1) имеет решений удовлетворяющих на условию (8.18); для это условие является тривиальным в силу Нули и свойство Покажите, что если уравнение (8.1) не имеет решения и обладающего нулями на (с учетом их кратности), то (8.1) обладает на свойством В остальной части этого упражнения мы будем предполагать, что уравнение (8.1) обладает на свойством Обобщение теоремы Ролля. Пусть функция имеет на непрерывные производные порядка и по [крайней мере нулей (с учетом их кратности). Тогда существует по крайней мере одна точка в которой Частичное обращение утверждения (а). Покажите, что в интервале ни одно решение уравнения (8.1) не имеет нулей (с учетом их кратности), (d) Интерполяция. Пусть где целые числа; точки из и -произвольные числа. Тогда уравнение (8.1) имеет единственное решение удовлетворяющее условиям Уравнение Докажите утверждение (d) для Теорема о среднем значении. Пусть

и определены, как в Пусть имеет непрерывных производных в интервале пусть единственное решение уравнения (8.1), удовлетворяющее условиям для единственное решение уравнения удовлетворяющее условиям Для Если отрезок содержит точки то существует по крайней мере одна точка в которой сводятся к стандартным теоремам, если (8.1) представляет собой тривиальное уравнение с решениями

Упражнение 8.4. Пусть коэффициенты уравнения (8.1) непрерывны в Покажите, что уравнение (8.1) имеет решение и обладающее нулями (с учетом кратности) в интервале в том и только в том случае, когда у него есть решение и различными нулями в этом интервале. См. Хартман [15].