§ 4. Замена переменных в интегралах
Для того чтобы не прерывать некоторых последующих доказательств, удобно доказать сейчас следующую лемму.
Лемма 4.1. Пусть 
скаляры, 
непрерывная функция на отрезке 
непрерывная функция ограниченной вариации на а 
такая, что 
для 
где слева стоит интеграл Римана — Стильтьеса, а справа — интеграл Римана.
В этой лемме по существу утверждается возможность замены переменных 
определяемой функцией 
даже если и 
не является монотонной (и абсолютно непрерывной).
Доказательство. Если и 
имеет непрерывную производную, соотношение (4.1) для 
справедливо, так как в этом случае оба интеграла в (4.1) равны нулю при 
и имеют одинаковую производную 
Если и 
не имеет непрерывной производной, то выберем последовательность непрерывно дифференцируемых на 
функций 
удовлетворяющих следующим условиям: 
равномерно на отрезке 
таких, что последовательность полных вариаций функций 
на 
ограничена. (Существование таких функций 
следует из предыдущего параграфа). Ясно, что для функций 
равенство (4.1) справедливо. Применяя тогда теорему о предельном переходе под знаком интеграла, мы получим требуемое равенство 
ПРИМЕЧАНИЯ
(см. скан)
