§ 6. Теория Флоке

Как это видно из следующей теоремы, рассмотрение системы, с переменными, но периодическими коэффициентами теоретически может быть сведено к системе с постоянными коэффициентами.

Теорема 6.1. Пусть в системе

является непрерывной -матрицей, определенной для и периодической с периодом т. е.

Тогда любая фундаментальная матрица системы (6.1) допускает представление вида

где постоянная матрица являются -матрицами).

Если некоторый собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению так что то решение системы (6.1) представимо в виде где вектор имеет период И вообще из описания структуры матрицы в § 5 следует, что если является произвольным решением системы (6.1), то его компоненты представляют собой линейные комбинации членов вида где целое, собственное значение матрицы .

Заметим, что ни матрица ни ее собственные значения системой (6.1) определяются неоднозначно. Например, представление (6.3) может быть заменено представлением т. е. матрица заменяется матрицей а матрица матрицей С другой стороны, собственные значения матрицы однозначно определяются системой (6.1). Из следующего ниже доказательства будет видно, что матрица определяется фундаментальной матрицей так, что если заменена произвольной фундаментальной матрицей где постоянная невырожденная матрица, то заменяется матрицей Собственные значения матрицы называются характеристическими множителямих) системы (6.1). Если - собственные значения матрицы то являются собственными значениями матрицы такими, что при надлежащем выборе нумерации Числа которые системой (6.1) определяются только с точностью до называются характеристическими показателями системы (6.1). Из (6.3) видно, что система (6.1) имеет линейно независимых решений таких, что показатель вектора равен

Доказательство теоремы 6.1. Так как является фундаментальной матрицей системы (6.1), то из (6.2) следует, что матрица

также будет фундаментальной для этой системы. Поэтому, согласно предшествующему лемме 1.2 замечанию, существует постоянная невырожденная матрица С, такая, что

Ниже мы покажем, что из условия следует существование (но не единственность) матрицы такой, что

т. е. Если это так, то (6.4) можно переписать в виде

Определим по формуле (6.3), т. е. положим см. (5.8). Тогда согласно (6.6). Таким образом, что и утверждалось.

Для завершения доказательства осталось проверить существование матрицы удовлетворяющей равенству (6.5). Так как (6.5) эквивалентно соотношению можно считать, что матрица С представлена в нормальной жордановой форме. Более того, рассуждения предыдущего параграфа показывают, что достаточно рассмотреть тот случай, когда С является матрицей вида где все элементы К равны нулю, за исключением поддиагональных элементов, равных 1; см. (5.14) и (5.17). Но из следует, что Записав и заметив, что мы вправе ожидать, что определяется равенством

т. е. что или, что эквивалентно, Доказательство последних утверждений нетрудно провести следующим образом.

Заметим, что ряд в (6.7) на самом деле является конечной суммой, так как Формальная перегруппировка рядов для получения формулы

т. е. формулы справедлива при Ясно, что те же самые формальные вычисления дадут и они законны, так как степени матрицы К коммутируют, а сходимость рассматриваемых рядов очевидна.