§ 2. Теорема об индексе

В случае, когда рассматривается плоскость где справедлива теорема Жордана, понятия предыдущего параграфа можно развить дальше и перейти к теории Пуанкаре — Бендиксона. Это будет сделано в § 4—6. Для того чтобы не прерывать доказательств, мы сначала займемся изучением свойств индекса стационарной точки на плоскости.

Напомним, что жорданова кривая определяется как топологический образ окружности; другими словами, есть -множество точек где непрерывное отображение, для Мы сформулируем сейчас теорему Жордана, на которую будем неоднократно ссылаться. Ее доказательство можно найти, например, у Ньюмена [1, стр. 115] или Вольперта [1] и Филиппова [1].

Теорема Жордана. Если плоская жорданова кривая, то ее дополнение в плоскости состоит из объединения двух непересекающихся связных открытых множеств граница каждого из которых есть т. е.

Одно из множеств или ограничено и называется внутренней областью кривой эта внутренняя область односвязна.

Рассмотрим на плоскости непрерывную дугу а Пусть непрерывный -мерный вектор, исходящий из точки т. е. О есть векторное поле на Введем в рассмотрение угол отсчитываемый от положительного направления оси до вектора , так что где Эти формулы определяют с точностью до но если угол в некоторой точке, скажем уже определен, то как непрерывная функция определяется дальше единственным образом. Под мы понимаем всюду в дальнейшем именно такое непрерывное продолжение. Определим число равенством

Например, если поле непрерывно дифференцируемо то

Если в том смысле, что то

Если поле задано произвольной функцией то не имеет ничего общего с но в приложениях обычно будет «вектором с началом в точке кривой

Дальше нас в основном будет интересовать случай, когда кривая является жордановой, причем мы будем считать, что положительно ориентирована и поле непрерывно на (так что и [Мы будем рассматривать только кусочно -гладкие жордановы кривые так что положительная ориентация означает, что нормальный вектор определенный всюду, за исключением

угловых точек, направлен внутрь В этом случае ясно, что число целое, и оно называется индексом поля по отношению к кривой

Теорема 2.1 (теорема об индексе). Пусть положительно ориентированная жорданова кривая класса касательное поле к Тогда

Доказательство. Определим в треугольнике : функцию следующим образом: если или и

Рис. 1.

Ясно, что функция непрерывна и в А. Заметим, что векторы и ориентированы противоположно; см. рис. 1.

Предположим, что точка выбрана так, что касательная к в точке параллельна к -оси и вся лежит выше этой касательной. Так как область односвязна, то можно (единственным образом) определить непрерывную функцию такую, что дает значение угла между положительным направлением -оси и вектором Тогда как это видно из рассмотрения функции

Расположение кривой гарантирует, что и что нечетно кратно откуда Аналогично из равенства для видно, что Значит, Так как то теорема доказана.

Сглаживая углы кусочно -гладкой кривой можно доказать

Следствие 2.1. Пусть положительно ориентированная кусочно Сгладкая жорданова кривая с углами в -точках и пусть для Обозначим считая Тогда

где равен внешнему углу при вершине

Рис. 2.

Заметим, что есть угол от до ; см. рис. 2.

Основная идея доказательства теоремы 2.1 содержится в следующей лемме.

Лемма 2.1. Пусть а жорданова кривая и два векторных поля на которые можно (непрерывно) продеформировать одно в другое без обращения в нуль в какой бы то ни было точке. Тогда

Возможность деформации без обращения поля в нуль означает, что существует непрерывное векторное поле такое, что и Например, является такой деформацией, если ни при каком не направлены противоположно друг другу.

Доказательство. Пусть обозначает индекс поля при фиксированном Ясно, что зависит от непрерывно, но так как есть целое число, то В частности,