§ 5. Системы с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему

где — постоянная -матрица. Пусть некоторый постоянный вектор и комплексное число. Подставляя

в (5.1), видим, что для того, чтобы (5.2) было решением системы (5.1), необходимо и достаточно выполнение равенства

Следовательно, в этом случае является собственным значением, соответственно собственным вектором матрицы Таким образом, каждому собственному значению матрицы соответствует по крайней мере одно решение системы (5.1), имеющее вид (5.2). Если имеет простые элементарные делители (т. е. если имеет линейно независимых собственных векторов соответствующих собственным значениям то

является для (5.1) фундаментальной матрицей.

В общем случае фундаментальная матрица может быть найдена следующим образом. Последовательные приближения решения задачи Коши для системы (5.1) определяются следующими формулами:

и по индукции мы получаем, что

Это приводит к такому определению: для произвольной -матрицы В положим

где матричный ряд справа может рассматриваться как (скалярных) рядов, каждый из которых соответствует одному элементу матрицы Если то из (4.1) видно, что где Так как из (4.1), очевидно, следует, что то, обозначив получаем Таким образом, каждый из рядов для элементов матрицы является сходящимся. Стандартные рассуждения, связанные с функциональным уравнением для экспоненциальной функции, показывают, что

Отсюда ясно, что функции (5.6) сходятся равномерно на любом ограниченном -интервале к вектору который в силу (5.5) является решением системы (5.1). Другими словами, матрица

является для системы (5.1) фундаментальной и Рассмотрим неоднородную систему

соответствующую (5.1). В этом случае формула (2.6) для общего решения системы (1.2) примет такой вид:

Пусть постоянная невырожденная матрица. Замена переменных

преобразует (5.1) в систему

Эта система имеет фундаментальную матрицу Исходя из равенства и определения (5.7), легко проверить, что

Так как умножение фундаментальной матрицы, скажем справа на постоянную невырожденную матрицу, скажем снова дает фундаментальную матрицу, отсюда следует, что матрица

является для (5.1) тоже фундаментальной.

Пусть матрица выбрана так, что имеет нормальную жорданову форму, т. е.

где является квадратной -матрицей, все диагональные элементы которой равны и если то поддиагональные элементы равны единице, а остальные — нулю. Следовательно,

где нильпотентная квадратная матрица:

Кроме того, сумма всех равна т. е. Матрица вырождается в скаляр и соответствующая матрица если

Из того, что следует, что Отсюда

В силу (5.8) и (5.15), где Заметим, что домучается из сдвигом поддиагональных единиц вниз на следующую диагональ, а получается сдвигом единиц вниз еще на одну диагональ и т. д. В частности, Поэтому

Формулы (5.12), (5.17) и (5.18) полностью определяют для системы (5.1) ее фундаментальную матрицу (5.9).

Из этих формул следует, что если вектор является решением системы (5.1), то его компоненты являются линейными комбинациями экспонент с коэффициентами, представляющими собой полиномы относительно Эти полиномиальные коэффициенты нельзя, конечно, выбирать произвольно.

Таким образом, определение решений системы (5.1) сводится к алгебраической задаче нахождения нормальной жордановой формы матрицы и определения матрицы такой, что Простейший случай, рассмотренный в начале этого параграфа который привел нас к формуле (5.4), соответствует ситуации, когда для всех так что в этом случае является -матрицей (скаляром)

Отметим, что если собственные значения матрицы обозначить через то система (5.1) всегда имеет линейно независимых решений таких, что показатель вектора равен см. (4.13).