§ 13. Асимптотическое интегрирование

В этом параграфе изучается асимптотическое поведение решений возмущенной линейной системы уравнений

в то время как в § 11 рассматривалось поведение

Пусть матрица имеет нормальную жорданову форму где есть -матрица [как в (IV.5.15)-(IV.5.16)]. Имеем где - единичная

ничная -матрица, матрица равна при а при это -матрица, поддиагональные элементы которой равны 1, а остальные — нулю. В соответствии со случаями или

где Аналогично, если то

и система (13.1) имеет вид

Пусть — одно из чисел Индекс мы заменяем на или в соответствии с тем, будет ли или Положим

Пусть целое число, такое число, что

целые числа (если такие существуют), для которых

В следующей теореме приводятся достаточные условия, при которых система (13.3) имеет такое решение, что при

где с — постоянные,

если чисел не существует.

Заметим, что если в (13.7) отбросить -члены, то, поскольку в мы имеем (13.7) переходит в решение линейной системы уравнений

Выбор пределов суммирования продиктован несколькими соображениями. С одной стороны, результаты, соответствующие случаю можно легко получить как следствие теоремы 13.1 (но мы этого не будем делать); аналогично, лервое слагаемое в первой строке формулы (13.7) не имеет смысла

при и потому мы берем только те которые удовлетворяют условию поскольку С другой стороны, условие означает, что степень полинома не превышает заданного числа

Теорема 13.1. Пусть жорданова клетка в системе (13.3); см. (13.2). Пусть для некоторого Будем заменять индекс на или в зависимости от того, какое из соотношений или выполняется; определим по формуле (13.4). Пусть некоторое целое число и такое число, что

следовательно, Пусть целые числа, удовлетворяющие условию (13.6) (если они существуют). Пусть вектор-функция непрерывна при и всех

где такая непрерывная функция, что

Положим Для всякого набора постоянных состоящего из одних нулей, существует -параметрическое семейство решений системы (13.3), определенное при больших и удовлетворяющее при асимптотическим соотношениям (13.7).

Утверждение, касающееся -параметрического семейства решений, означает по существу, что можно выделить «начальных условий» в соответствии с асимптотическим поведением вектора при , описываемым формулами (13.7); см. утверждение, следующее за формулой (14.15), в доказательстве теоремы 13.1.

Замечание 1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где постоянная матрица, а вектор-функция непрерывна при и всех Пусть такая невырожденная постоянная матрица, что матрица имеет нормальную жорданову форму Тогда замена переменных переводит систему (13.13) в (13.1) [т. е. в (13.3)], где Возможность применения теоремы 13.1, или по крайней мере выполнение условия (13.11), иногда можно установить, даже не зная явного вида матрицы т. е. не приводя явно (13.13) к (13.1). Действительно, ясно, что

влечет за собой неравенство если положить, например,

Замечание 2. Из процесса вывода теоремы 13.1 из леммы 4.3 видно, что эта теорема остается справедливой, если функция определена только при когда (или когда и постоянные достаточно малы).

Теорема 13.1 допускает частичное обращение, касающееся всех (а не отдельных) решений системы (13.1), для которых

(см. теорему 11.2).

Теорема 13.2. Пусть и вектор удовлетворяет всем предположениям теоремы 13.1, за исключением того, что условие (13.12) заменено неравенством

(число не обязательно целое). Пусть решение системы (13.3), удовлетворяющее условию (13.14). Тогда существуют такие постоянные не все равные нулю у что если

суть соответственно наименьшее и наибольшее целые числа (если такие существуют), удовлетворяющие (13.6), то решение удовлетворяет асимптотическим соотношениям (13.7) при

Следствие и обобщения теорем 13.1, 13.2 рассматриваются в § 16; см. также § XII.9.