§ 8. P(B,D)-многообразия
Условия 
были нужны главным образом для доказательства леммы 3.2. Аналогичная лемма следует из подобной пары предположений 
В этом параграфе мы придерживаемся тех же обозначений, что и в §§ 3, 4.
(А5) Если 
при больших 
то существует единственное решение 
уравнения 
такое, что 
при больших 
Определение. 
-многообразие. Пусть выполнено условие 
Пусть 
банаховы пространства из 
пространство, определенное в 
из § 1. Подмногообразие X из 
называется 
-многообразием, если существует такая постоянная 
что для 
существует PD-решение 
уравнения 
такое, что 
и функция 
[определенная в соответствии с условием 
удовлетворяет соотношению 
[Если выполнено условие 
то даже без предположения 
можно показать, что 
Упражнение 8.1. Пусть выполнено условие 
Покажите, что 
-многообразие существует тогда и только тогда, когда пара 
является 
-допустимой.
Лемма 8.1. Пусть выполнены условия 
Пусть функции 
обладают такими же свойствами, как в определении 
-многообразия. Тогда существует постоянная 
такая, что 
Это утверждение вытекает из (3.3) и (3.4) [или (3.3)], а также из (3.50 и (1.5).
(А7) X является 
-подпространством, т. е. замкнутым 
-многообразием.
Лемма 8.2. Пусть выполнены условия 
[или 
Пусть 
есть любое PD-решение уравнения 
для которого 
Тогда существуют такие постоянные 
что выполнено условие (3.7) (если 
допускается значение 
Доказательство совпадает с доказательством леммы (3.4). Если предположить дополнительно, что кроме условия 
[или 
то лемма 3.4 содержится в лемме 8.2, поскольку в этом случае пространство 
является 
-подпространством.
условиями 
если утверждение типа 
индуцирует... дихотомию» заменить утверждениями типа «X индуцирует... дихотомию».
(например, в случае конечномерного пространства 
то в силу результата упр. 8.1 из условий 
следует, что 
справедливо и после замены В на Д». Однако значение сделанного выше замечания состоит в том, что подпространство X (которое, возможно, меньше, чем 
может быть заменено на 
в утверждениях теорем из §§ 4—5.
