§ 2. Максимальные и минимальные решения

Пусть некоторая непрерывная функция на плоском -множестве Под максимальным решением задачи Коши

мы понимаем такое ее решение на максимальном интервале существования, что если и любое решение задачи (2.1), то имеет место неравенство

для всех принадлежащих их общему интервалу существования. Минимальное решение определяется подобным же образом.

Лемма 2.1. Пусть непрерывна в прямоугольнике пусть Тогда задача Коши (2.1) имеет на отрезке решение обладающее тем свойством, что любое решение задачи и удовлетворяет на отрезке неравенству (2.2).

Из этой леммы и доказательства теоремы II.3.1 о продолжении решения вытекает следующая теорема существования максимального и минимального решений (которая будет сформулирована только для открытого множества

Теорема 2.1. Пусть непрерывна на некотором открытом множестве Тогда уравнение (2.1) имеет максимальное и минимальное решения.

Доказательство леммы 2.1. Пусть Тогда, по теореме II.2.1, задача Коши

при достаточно большом имеет на отрезке решение По теореме 1.2.4, существует последовательность такая, что предельная функция

является решением задачи Коши (2.1), причем сходимость в (2.4) равномерна на

Убедимся, что на справедливо неравенство (2.2). Для этого, очевидно, достаточно проверить, что для всякого достаточно большого фиксированного

Предположим противное. Тогда существует точка такая, что Поэтому в полуинтервале существует наибольшее значение где и так что на Но из (2.3) следует, что так что при близких к Это противоречие и доказывает неравенство (2.5). Так как число а произвольно, лемма полностью доказана.

Замечание. Из единственности решения следует, что равномерно на когда непрерывно.