§ 11. Простые особенности

В формуле (10.2) матрица разлагается в окрестности точки в ряд Лорана. Точка называется для системы (10.1) регулярной особой точкой, если (10.1) имеет фундаментальную матрицу (10.2), в которой элементы матрицы не имеют в существенной особенности (т. е. в точке они или аналитичны, или имеют полюс). В этом случае имеет место

Следствие 11.1. Пусть матрица аналитична и однозначна в области и точка является для системы (10.1) регулярной особой точкой. Тогда система (10.1) имеет фундаментальную матрицу вида

где матрица С постоянная, а матрица аналитическая в круге

Действительно, если из формулы (10.2) имеет самое большее полюс, то (10.2) можно переписать в виде где матрица аналитична в при подходящем выборе целого числа Если особенность матрицы (т. е. каждого ее элемента) в точке есть самое большее полюс порядка 1, то будем говорить, что система (10.1) имеет в точке простую особенность или что есть простая особая точка этой системы. В этом случае система (10.1) может быть представлена в виде

где постоянные матрицы, а ряд

сходится в круге

Если ввести новую независимую переменную то формула (11.1) принимает вид

(Относительно этой системы при вещественном см. гл. X.) Если то уравнение (11.3) превращается в и тогда оно имеет решение см. § 5 и следствие 11.1.

Теорема 11.1 (Соваж). Пусть в точке система (10.1) имеет простую особенность, так что (10.1) представима в виде

(11.1), где ряд (11.2) является при сходящимся. Тогда точка является для системы (11.1) регулярной особой точкой.

Эта теорема сразу же вытекает из следующей леммы:

Лемма 11.1. Пусть в точке система (10.1) имеет простую особенность, и пусть эта система имеет однозначное и аналитическое в области решение Тогда в точке или аналитично, или имеет полюс.

Так как эта лемма применима и к системе (10.6), отсюда следует, что матрица из (10.2) или аналитична в точке или имеет в ней полюс.

Доказательство леммы 11.1. Пусть фиксировано, и пусть так что и потому вектор является решением системы

где Из условий, наложенных на матрицу следует существование постоянной с, такой, что при где через обозначена евклидова норма. Поэтому любое решение удовлетворяет неравенству

при Отсюда для и подходящим образом подобранной постоянной С. Значит, если некоторое положительное целое число, то функция ограничена для малых следовательно, аналитична в точке Таким образом, имеет в точке самое большее полюс порядка Лемма доказана.

Теорема, обратная к теореме 11.1, неверна. Это легко видеть из следующего примера. Система

имеет фундаментальную матрицу

которая представима в виде (10.2) с и Значит, точка является для этой системы регулярной особой точкой, но простой особенностью она не является. Однако частичное обращение теоремы 11.1 все же имеет место.

Теорема 11.2. Пусть -матрица однозначна и аналитична в области а и такова, что точка является для системы

регулярней собой точкой. Тогда существуют матрица являющаяся полиномом относительно и удовлетворяющая условию и диагональная матрица с целыми а такие, что замена переменных

преобразует систему (11.4) в систему вида (11.1) — (11.2), для которой точка будет простой особой точкой.

Доказательство. Так к особая точка является для системы (11.4) регулярной, то система (11.4) имеет фундаментальную матрицу вида

где матрица постоянная, аналитическая при

Предположим сначала, Тогда матрица существует и аналитична а матрица представима в ниде

Отсюда видно, что имеет в точке самое большее полюс первого порядка, так что особая точка является для (11.4) простой, и поэтому для доказательства теоремь. достаточно положить

Рассмотрим теперь случай Пусть существуют матрицы указанного выше вида, такие, что

где матрица аналитическая при Тогда

так что замена переменных (11.5) преобразует систему (11.4) в систему для которой матрица будет фундаментальной. По аналогии с формулой (11.7)

Следовательно, точка будет для новой системы простой особой точкой. Теорема 11.2 будет доказана, если окажется справедливой следующая

Лемма 11.2. Пусть аналитическая в круге матрица, такая, что Тогда допускает представление вида (11.8), где матрица является полиномом относительно с целыми матрица аналитическая в круге причем

Замечание 1. Соотношения О показывают, что

где есть порядок нуля определителя матрицы в точке

Доказательство. Преобразуем уравнение (11.8) к виду

Из обычного способа построения обратной матрицы (с помощью миноров, деленных на определитель) вытекает, что обе матрицы обладают указанными в лемме свойствами. Поэтому вместо того, чтобы находить можно искать а это, как мы увидим, проще. К тому же в процессе доказательства мы получим матрицу такую, что равен постоянной, отличной от нуля, но не обязательно равной 1. А тогда нужная нам нормировка проводится тривиальным образом.

Искомая матрица будет построена как произведение конечного числа элементарных матриц действующих одним из следующих трех способов: 1) умножение матрицы слева на после которого строки матрицы меняются местами; например, умножение на матрицу

слева меняет местами 1-ю и 2-ю строки; 2) умножение на слева, после которого строка увеличивается в раз, например при ; 3) умножение на слева, после которого строка заменяется суммой строки и увеличенной в раз строки, где полином и например, для

Каждая из этих элементарных матриц удовлетворяет условию

Пусть и пусть порядок нуля определителя в точке равен Сопоставим каждой строке

матрицы целое число такое, что где аналитичны в точке и по крайней мере одна из функций в этой точке не равна нулю. В частности,

так что где Отсюда

Если в (11.11) имеет место знак равенства, то и лемма становится тривиальной с

Если в (11.11) стоит знак строгого неравенства, то мы покажем, что умножением матрицы слева на конечное число матриц типа можно получить матрицу такую, что а где через а (1), обозначены целые числа, построенные по матрице так же, как по построены а (1), Тогда матрица будет иметь вид , где

Можно считать, что а в случае необходимости этого можно добиться, умножая слева на матрицы вида 1). Пусть так что По условию, наложенному на хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Допустим, что первое из этих чисел, которое отлично от нуля. Умножая, если это необходимо, матриц слева на матрицу вида 2), можно считать, что Далее, заменяя строку матрицы суммой этой же строки и раз взятой 1-й строки, мы можем добиться, чтобы для После всех этих преобразований получим, что матрица новых элементов (если, напри мер, имеет вид

Величины а (1), при всех этих преобразованиях не уменьшаются.

Допустим, что не все элементы второй строки равны нулю, и пусть первый отличный от нуля элемент есть Тогда можно считать (в случае необходимости умножая на матрицы вида что

Эту процедуру можно применить к 3-й, 4-й строке и т. д., пока мы не дойдем до какой-либо строки, все элементы которой равны нулю. В этом случае число а можно

заменить большим, которое мы снова обозначим через а Затем, если это окажется необходимым, мы снова переставим строки так, чтобы и опять повторим предыдущую процедуру.

После конечного числа таких операций процесс введения единицы (слева и снизу от которой стоят нули) в каждую из строк прекратится, так как в силу неравенства а индекс а можно увеличивать лишь конечное число раз.

Первый столбец содержит по крайней мере один отличный от нуля элемент. В противном случае отличные от нуля элементы могут находиться лишь в последних столбцах, причем все элементы, стоящие под ними, равны нулю. Но тогда найдется строка целиком состоящая из нулей, что противоречит нашему построению. Значит, если первый отличный от нуля элемент первого столбца, то по построению Перенесем строку на место первой, не нарушив при этом порядка расположения остальных строк.

В новой матрице не все из элементов второго столбца равны нулю; даже точнее, только один из них (скажем равен 1, а остальные равны нулю. Это доказывается теми же рассуждениями, которые использовались в предыдущем абзаце. Сдвинем строку на место второй. Продолжая этот процесс, мы получим матрицу для которой соответствующая матрица имеет единицы на главной диагонали и нули ниже нее, так что

Таким образом, наше построение дает матрицу вида где причем связаны с так же, как Тем самым лемма полностью доказана.

Упражнение 11.1. Докажите, что если -матрица является в области однозначной и аналитической, то для того, чтобы особая точка была регулярной для системы (11.4), необходимо, чтобы элементы матрицы имели в самое большее полюс (т. е. точка не будет для существенно особой).

Упражнение 11.2. Пусть матрица, элементы которой являются функциями, аналитическими в кольце Точка называется для системы

простой особой (регулярной особой) точкой, если точка где является для системы лростой особой (регулярной особой) точкой, (а) Для того чтобы

особая точка была для системы (11.12) простой, необходимо и достаточно, чтобы при Пусть матрица аналитическая для всех Для того чтобы точки были простыми особыми точками, необходимо и достаточно, чтобы была представима в виде постоянные матрицы.

Теорема 11.3. Пусть ряд (11.2) сходится при и пусть ряд

является формальным решением системы (11.1) в том смысле, что удовлетворяют равенствам

Тогда ряд (11.13) является при сходящимся.

Доказательство. Так как ряд (11.2) при сходится, то

для некоторых постоянных в том смысле, что для всех векторов у. (Например, в качестве можно взять любое число На.) Выберем столь большим, чтобы

Пусть такое целое число, что для всех векторов у. Тогда матрица является при невырожденной, так как при любом Таким образом, если то уравнение имеет решение у при любом данном причем

Пусть выбрано столь большим, что неравенства

верны для Проверка индукцией показывает, что неравенства (11.19) справедливы для всех Действительно, пусть

(11.19) верно для где Тогда

Согласно (11.16) и предположению индукции,

а в силу (11.17) имеем Отсюда и из (11.18) следует, что Индукция закончена.

Следовательно, ряд (11.13) является сходящимся при и потому при малых он дает решение системы (11.1). Но тогда он сходится при и является решением системы (11.1) в области так как ни одно решение системы (11.1) не имеет в этой области особенностей.

Упражнение 11.3. Покажите, что теорема 11.1 неверна, если систему (11.1) заменить системой (10.1) и при этом не предполагать, что точка является простой особой.

Следствие 11.2. Пусть ряд (11.2) сходится при и пусть собственные значения матрицы В таковы, что разности равны или нулю, или нецелым числам. Тогда система (11.1) имеет фундаментальную матрицу вида

где ряд является сходящимся при

Доказательство. Матрица (11.20) является решением системы (11.1) в том и только том случае, когда матрица удовлетворяет дифференциальному уравнению

см. (10.5). В свою очередь формальный ряд

удовлетворяет уравнению (11.21) тогда и только тогда, когда имеют место равенства

для Вместо того чтобы считать (11.21) и (11.23) — -матричными уравнениями, будем рассматривать

их как системы уравнений для -мерных векторов. Для любой постоянной матрицы уравнение

имеет единственное решение, если Следовательно, наша система уравнений может быть переписана в виде где матрица В, согласно лемме 10.2, является -матрицей с собственными значениями, равными

Так как матрица удовлетворяет (11.23), то остальные матрицы могут быть найдены последовательно из уравнений (11.24). Полученный таким образом ряд (11.22) в силу теоремы 11.3 будет сходиться при Тем самым доказательство следствия закончено.

Если окажется, что собственные значения матрицы В не удовлетворяют условиям следствия 11.2, то можно сделать замену переменной у:

так, чтобы система (11.1) перешла в новую систему

для которой следствие 11.2 уже будет применимым. В этом случае у системы (11.1) существует фундаментальная матрица вида

где является полиномом от имеет тот же вид, что и в (11.20). Точная формулировка этого утверждения содержится в следующей лемме.

Лемма 11.3. Пусть ряд (11.2) сходится при Тогда существует матрица обладающая следующими свойствами: является полиномом от при замена переменных по формуле (11.25) преобразует систему (11.1) в систему (11.26), в которой сомножитель при представляет собой степенной ряд, сходящийся при а если обозначить собственные значения матрицы С через то разности равны или нулю, или нецелым числам.

Замечание 2. Из доказательства будет ясно, что если собственные значения матрицы В из (11.1), то числа можно перенумеровать так, чтобы разности были целыми числами.

В приводимом ниже доказательстве решения системы (11.1) не предполагаются известными (и в то же время оно дает алгоритм

для определения матрицы С в системе (11.26), т. е. матрицы С в следствии 11.1). Если же для системы (11.1) известна фундаментальная матрица, как в следствии 11.1, то для леммы 11.3 можно получить другое доказательство, из которого, однако, не вытекает следующее за ней замечание 2.

Упражнение 11.4. Вывести лемму 11.3 из леммы 11.2.

Доказательство леммы 11.3. Предположим сначала, что матрица В дана в нормальной жордановой форме представляет собой жорданову клетку вида (5.15), причем Пусть так что есть -матрица, где

Сделаем замену переменных

суть единичные матрицы соответствующих индексу размерностей. Тогда система (11.1) принимает вид

Разложив матрицу-коэффициент по степеням мы получим

де постоянные матрицы, причем

суть соответственно -матрицы. Гаким образом, если собственные значения матрицы В равны то собственные значения матрицы соответственно будут равны

Если матрица В дана не в нормальной жордановой форме, требуемый результат получается заменой где матрица имеет нормальную жорданову форму. Тогда ясно, что искомая матрица задается формулой где постоянная невырожденная матрица, имеет такой же вид, что и в (11.28),

Теорема 11.4. Пусть ряд (11.2) сходится при Пусть некоторое постоянное комплексное число и число линейно независимых векторов у, удовлетворяющих равенству Тогда число линейно независимых решений

системы (11.1), имеющих вид

удовлетворяет оценке

В частности, для числа линейно независимых решений системы (11.1), аналитических при имеет место следующая оценка:

В (11.31) не предполагается, что Относительно обобщения теоремы 11.4 см. теорему 13.1.

Доказательство теоремы 11.4 вытекает из доказательства леммы 11.3 и следующей леммы.

Лемма 11.4. Пусть ряд (11.2) сходится при Тогда число линейно независимых решений системы (11.1) вида (11.31) удовлетворяет неравенству

Если из чисел только первое является собственным значением матрицы В, то

и коэффициент в любых решениях (11.31) системы (11.1).

Доказательство. Можно считать, что в противном случае после замены переменных система (11.1) заменяется системой

соответственно числами

Ряд (11.13) является решением системы (11.1) тогда и только тогда, когда справедливы (11.14) и Уравнение (11.14) имеет линейно независимых решений, и если найдены решения уравнений (11.14), то решения уравнения (11.15а) будут иметь вид где есть частное решение уравнения принадлежит -мерному линейному многообразию решений уравнения Неравенство (11.34) тем самым доказано.

Для доказательства последней части леммы предположим, что есть собственное значение матрицы а остальные собственные значения этой матрицы не совпадают ни с одним из чисел

Тогда уравнение (11.14) имеет линейно независимых решений и если уравнения решены, то уравнение (11.15) имеет единственное решение. Значит, при данном векторы определяются единственным образом. Соответствующий ряд (11.13) сходится при и потому по теореме 11.3 является решением системы (11.1). Таким образом, формула (11.35), а вместе с ней и лемма 11.4 доказаны.

Доказательство теоремы 11.4. Так как неравенство (11.34) леммы 11.4 уже доказано, то остается доказать лишь левую часть оценки (11.32). Поскольку то это будет сделано, как только мы убедимся в том, что

Как и при доказательстве леммы 11.4, не теряя общности, можно предположить, что в (11.35) и считать, что (в противном случае неравенство (11.36) тривиально). В силу леммы 11.4 можно также предполагать, что матрица В имеет целое и положительное собственное значение.

Из доказательства леммы 11.3 ясно, что существует замена переменных (11.25), где является полиномом от переводящая систему (11.1) в систему (11.26), в которой собственные значения матрицы С совпадают с собственными значениями матрицы В, за исключением какого-либо целочисленного собственного значения переходящего в Пусть обозначает для матрицы С то же самое, что и для В. Покажем, что

Для этой цели достаточно проанализировать доказательство леммы 11.3 и убедиться в том, что на каждом шаге имеет место аналог неравенства (11.37). Таким образом, если первый шаг ведет от (11.1) к (11.29), то достаточно показать, что

Пусть матрица В дана в нормальной жордановой форме, и пусть есть целое число. Сделаем замену переменных (11.28), переводящую систему (11.1) в (11.29), где матрица С задается формулой (11.30). Так как дана в нормальной жордановой форме, то ясно, что строк матрицы содержат только нули. Значит, ранг матрицы О из (11.30) не превосходит так что имеет место неравенство (11.38). Отсюда вытекает справедливость неравенства (11.37).

Так как ни одно из чисел не является собственным значением матрицы С, то из последней части леммы 11.4 следует, что система (11.26) имеет линейно независимых решений

регулярных при Поскольку является полиномом от то (11.25) показывает, что система (11.1) имеет по меньшей мере линейно независимых решений регулярных при Отсюда и из (11.37) вытекает (11.36) при было отмечено, это не уменьшает общности рассуждений). Теорема 11.4 доказана.

Упражнение Пусть есть -матрица, аналитическая при Пусть а или 1, и пусть где Тогда система

имеет по меньшей мере а линейно независимых решений, аналитических при Пусть функции аналитичны при Тогда дифференциальное уравнение

имеет по крайней мере одно решение и аналитическое при По поводу обобщения этого упражнения см. § 13.