§ 8. Асимптотическое интегрирование. Эллиптические случаи

В этом и следующем параграфах рассматривается задача об асимптотическом интегрировании уравнений вида

где функция непрерывна при больших Всюду, за исключением последней части этого параграфа, нас будут интересовать

такие случаи, когда коэффициент близок к постоянной, и случаи, которые могут быть сведены к предыдущему. В последней части этого параграфа (см. упр. 8.6, 8.8) мы получим оценки для при условии, что функция ограничена сверху.

Если постоянная, например вещественное положительное число, то все решения, грубо говоря, сравнимы по величине. С другой стороны, если не является вещественным положительным числом, то имеется по существу одно решение, убывающее по абсолютной величине при а другие решения возрастают. Эти факты показывают, что в случае, когда функция близка к постоянной нам потребуется различная техника в зависимости от того, является ли вещественным положительным числом или нет. В этом параграфе рассматривается первый случай.

Теорема 8.1. Пусть в дифференциальных уравнениях (8.1) и

функции непрерывны при принимают комплексные значения и таковы, что

для каждого решения уравнения (8.2). Пусть линейно независимые решения уравнения (8.2). Тогда каждому решению уравнения (8.1) соответствует по крайней мере одна пара таких постоянных что

при обратно, для каждой пары постоянных найдется по крайней мере одно решение и уравнения (8.1), удовлетворяющее (8.4).

Заметим, что при данном и соотношение (8.4) может оказаться верным более чем для одной пары постоянных Это верно, например, если

Интересно отметить, что в теореме 8.1 основное условие (8.3) не включает производных от решения уравнения (8.2). Это обстоятельство не имеет места, если заменить (8.1) или (8.2) более сложным уравнением, как это сделано в упр. 8.4 ниже.

Доказательство. Можно предполагать, что где

Запишем (8.1) в виде системы первого порядка для двумерного вектора см. (2.5). С помощью вариации постоянных можно свести систему например, к системе вида Поэтому теорема 8.1 вытекает из линейного случая теоремы Х.1.2; см. упр. Х.1.4.

Следствие 8.1. Пусть непрерывная комплексная функция, определенная при и такая, что

Тогда, если постоянные, то существует одно и только одно решение уравнения (8.1), удовлетворяющее асимптотическим равенствам

Равенства (8.6) можно записать так: при для некоторых постоянных и

Упражнение 8.1. Докажите, что если постоянные, то существует единственное решение уравнения Бесселя при такое, что функция и удовлетворяет соотношениям (8.6) при

Упражнение 8.2. Покажите, что следствие 8.1 остается справедливым, если заменить условие (8.5) следующими более слабыми условиями (в которых ) интегралы

существуют как сходящиеся (возможно, условно) несобственные римановы интегралы при при

Упражнение Пусть положительная при функция, обладающая непрерывной второй производной и такая, что

Тогда утверждение следствия 8.1 остается справедливым, если заменить (8.6) следующими условиями:

(b) Покажите, что условие (8.7) в выполняется, если при и функция имеет непрерывную вторую производную, такую, что [В действительности, для справедливости утверждения (а) достаточно предположить, что имеет непрерывную первую производную, которая имеет ограниченную вариацию при т. е. Например, монотонная ограниченная функция. Это следует из только что доказанного утверждения, если использовать аппроксимацию гладкими функциями.]

Упражнение Пусть в дифференциальных уравнениях

комплексные функции непрерывны при и

для всех решений уравнения (8.80). Пусть линейно независимые решения уравнения (8.80). Тогда каждому решению и уравнения (8.84) соответствует по крайней мере одна пара постоянных для которых справедливы равенства (8.4); обратно, если постоянные, то существует по крайней мере одно решение и уравнения удовлетворяющее (8.4).

(b) Пусть в дифференциальном уравнении (8.1) комплексная функция непрерывна при и имеет ограниченную вариацию при положительная постоянная, и решения и уравнения (8.1) ограничены (например, если вещественна или, в более общем случае, если то решения и и их производные ограничены). Пусть постоянные. Тогда уравнение (8.1) имеет единственное решение и такое, что при

где произвольная фиксированная ветвь квадратного корня из

Упражнение 8.5. Пусть (комплексная) функция не обращается в нуль, имеет при непрерывную производную и

Предположим далее, что

ограничены при Тогда дифференциальное уравнение

имеет пару таких решений, что при

Все степени функции входящие в эти формулы, можно считать целыми (положительными или отрицательными) степенями от фиксированных значений корня четвертой степени из Условие

(8.11), очевидно, выполняется, если вещественная положительная функция и

В следующем упражнении будут получены оценки производных от решений уравнения (8.1) или более общего уравнения

Упражнение 8.6. Пусть непрерывные при вещественные функции. Пусть положительные постоянные и С таковы, что

(Неравенство (8.15) справедливо, например, если при Пусть вещественное решение уравнения (8.13). Рассмотрите случай

или случай

(a) Покажите, что в каждом случае

(b) Покажите, что (8.16) справедливо, если заменить на Из утверждения (а) вытекает, что если то

где Положите

Покажите, что существует неубывающая при функция такая, что

если

Результаты, сформулированные в последнем упражнении, можно перенести на уравнение вида

см. упр. 8.8. В действительности результаты, касающиеся уравнения (8.20), могут быть выведены из результатов, полученных для уравнения (8.13), с помощью леммы, содержащейся в следующем упражнении, не имеющем отношения к дифференциальным уравнениям.

Упражнение 8.7. Пусть функция имеет ограниченную вариацию, непрерывна на отрезке Тогда

где интегралы понимаются в смысле Римана — Стильтьеса, означает полную вариацию функции на

Упражнение 8.8. Пусть вещественные функции непрерывны на отрезке вещественное решение уравнения (8.20). Пусть и С — такие положительные постоянные, что справедливо (8.15). Рассмотрите два случая в упр. 8.6, заменив (8.14) условиями

(а) Части упр. 8.6 остаются справедливыми, если в (8.16) заменить на Утверждение (с) упражнения 8.6 сохраняется, если заменить в (8.17) на где

и

(с) Утверждение (d) упражнения 8.6 справедливо, если где определено в (8.23).