§ 2. Основные факты

Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим из результатов гл. IV (в частности, из § IV.8) следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений

Для этого перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений

где векторы совпадают с векторами матрица второго порядка:

Если не оговорено противное, то предполагается, что и другие коэффициенты являются непрерывными комплексными функциями на -интервале (который может быть замкнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным).

(i) Если произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2)

имеет единственное решение, существующее при всех см. лемму IV. 1.1.

(ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при соответствующим единственным решением служит функция и Поэтому, если и есть решение уравнения (2.1), то нули функции и не могут иметь предельной точки в У.

(iii) Принцип суперпозиции. Если и ( решения уравнения (2.1), а постоянные, то функция является решением уравнения (2.1). Если решение уравнения (2.2), то функция также является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет уравнению (2.1).

(iv) Если и решения уравнения (2.1), то соответствующие векторные решения системы линейно независимы (в каждой точке тогда и только тогда, когда функции и линейно

независимы в том смысле, что равенство где постоянные, влечет за собой

Если и решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и и такая, что для их вронскиана выполняется тождество

Это следует из теоремы IV.1.2, поскольку матричным решением системы (2.3) является

см. § IV.8 (iv). Простое и прямое доказательство можно получить из формулы (2.9).

(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений

где непрерывные функции на Если умножить второе уравнение на а, первое —на и результаты вычесть, мы получим, что

так как Соотношение (2.9) называется тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

где называется формулой Грина.

(vii) В частности, из следует, что и - линейно· независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7) с В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией функций и с постоянными коэффициентами.

(viii) Если (например, то вронскиан любой пары решений и уравнения (2.1) равен постоянной.

(ix) В соответствии с результатами общей теории, изложенной в в случае, когда известно одно решение и уравнения (2.1), отыскание других решений этого уравнения (по крайней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если и на подинтервале этим уравнением служит уравнение (2.7), где известная функция, искомая. Если поделить (2.7) на то это уравнение запишется в виде

а после интегрирования мы будем иметь

где см. § IV.8 (iv). Легко проверить, что если — произвольные постоянные и то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале где

(x) Пусть решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7) При фиксированном решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и является Поэтому решением уравнения (2.2), удовлетворяющим условиям служит функция

см. § IV.8(v) (проще проверить это непосредственно). Сбщее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает

Если замкнутый ограниченный интервал содержится в то, полагая

мы получаем из (2.14) частное решение

Оно может быть записано в виде

где

Замечание. Если функция (не обязательно непрерывная) интегрируема по то функция до является «решением» уравнения (2.2) в том смысле, что она имеет непрерывную производную до, причем функция абсолютно непрерывна, и соотношение (2.2) выполняется всюду, за исключением множества точек нулевой меры.

Упражнение 2.1. Проверьте, что если - такие постоянные, что

то частное решение (2.15) уравнения (2.2) удовлетворяет соотношениям

Чрезвычайно простой, но важный случай получается при так что уравнение (2.1) переходит в Тогда и суть решения уравнения (2.1), для которых и и постоянная с в (2.7) равна Поэтому функция

удовлетворяет уравнению и условиям до

Упражнение 2.2. Пусть Покажите, что наиболее общей функцией определенной при для которой (2.16) является решением уравнения (2.2) при а и при любой непрерывной функции является функция

где такие постоянные матрицы, что

решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7) с В этом случае функция непрерывна при а

Упражнение 2.3. Пусть (а возможно, и является бесконечной граничной точкой У, не принадлежащей У, так что и

и не обязательно имеют пределы при (или соответственно при ). Пусть, однако, таковы, что интегралы в (2.15) сходятся (возможно, только условно). Тогда функция (2.15) удовлетворяет уравнению (2.2) на можно проверить, дифференцируя (2.15) или прямо подставляя (2.15) в (2.2).]

(xi) Вариация постоянных. Рассмотрим одновременно с (2.1) уравнение

где функции также непрерывны на Уравнение (2.19) эквивалентно соответствующей системе уравнений первого порядка

где

Пусть линейно независимые решения системы (2.19), такие, что матрица

является фундаментальной для системы (2.20) и т. е.

Отсюда

Рассмотрим линейную замену переменных

входящих в систему (2.3). Вектор у удовлетворяет системе дифференциальных уравнений

см. теорему IV.2.1. Прямой подсчет, использующий (2.5), (2.21), (2.22) и (2.23), показывает, что

В частности, при когда уравнение (2.19) имеет вид

матрица зависит от но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

Упражнение 2.4. Чтобы пояснить, какой смысл имеют компоненты решения у системы (2.28) для соответствующего решения и уравнения (2.1), запишем (2.1) в виде где Тогда решение и уравнения (2.1) можно представить в виде (2.14), где заменены на Используя (2.24), где двумерный вектор покажите, что коэффициентами при в формуле, аналогичной (2.14), служат компоненты соответствующего решения системы (2.28).

(xii) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. и затем найти матрицу, входящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на так что

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Умножая его на мы получаем, что

или, в силу (2.27), что

т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения дифференциального уравнения (2.27), а с функции имеющей непрерывную производную и такой, что непрерывно дифференцируема. При этом определяется равенством (2.27), так что Подстановка (2.29) будет называться также вариацией постоянных.

(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2.1) с

Предположим, что функция имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что

не зависит от Рассмотрим вариацию постоянных

Тогда (2.32) сводится к (2.30), где т. е. к уравнению

Замена независимых переменных определенная соотношением

переводит (2.35) в уравнение

где

а аргументом функции и ее производных служит функция обратная к функции определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифференцирование по так что

Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лаувалля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция «близка» к постоянной; см. упр. 8.3. Простой предельный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(c).

(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. (Другие такие преобразования будут использоваться далее; см. §8 и 9.) Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть

так что Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде

Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида где правая часть является квадратичным полиномом от называется дифференциальным уравнением Риккати.)

Читателю предоставляется проверка того факта, что если и решение уравнения (2.1), не равное нулю на -интервале то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на обратно, если решение уравнения (2.40) на -интервале то, интегрируя (2.39), мы получаем решение

уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из

Упражнение 2.5. Проверьте, что подстановка переводит уравнение

в уравнение Риккати

Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование (см. §§ 3, 5). Пусть — вещественное решение уравнения 2.1, и пусть

Поскольку не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непрерывно дифференцируемую функцию Соотношения (2.42) переводят уравнение (2.1) в систему

В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций Если решение уравнения (2.43) известно, то соответствующее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.

Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале где непрерывны Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений (2.1) и (2.43).

Упражнение 2.6. Проверьте, что если функция непрерывна на и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подинтервалах из и если вещественное решение уравнения (2.1), то равенства

при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции имеющие локально ограниченную вариацию и

Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана — Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непрерывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют решения уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если и функция имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая мы получаем а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства