ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
В основу этой книги положен курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям, который я время от времени читал студентам старших курсов и аспирантам, специализирующимся по математике, физике или инженерным наукам. Я предполагаю, что читатель знает теорию матриц и если еще не овладел в совершенстве теорией функций вещественного переменного, то знаком с ней в достаточной мере.
У меня никогда не возникало искушения рассыпать щедрой рукой примечания по всей книге и объявить ее учебником для начинающих или для продвинутых студентов — я считаю, что этому курсу должны предшествовать фундаментальные курсы анализа, алгебры и топологии.
Эта книга содержит больше материала, чем любой годовой курс, когда-либо прочитанный мною, но не охватывает всех вопросов, которые я рассматривал в различных курсах. Каждый из этих курсов наряду с основными разделами теории дифференциальных уравнений всегда включал приложения к другим дисциплинам (например, к дифференциальной геометрии). «Основной курс» составляют глава I, § 1—3 главы II, § 1—6 и 8 главы III, глава IV (за исключением приложения в § 3 и части (IX) в § 8), § 1—4 главы V, § 1—7 главы VII, § 1—3 главы VIII, § 1—12 главы X, § 1—4 главы XI и § 1—4 главы XII.
Многие вопросы рассматриваются в этой книге гораздо глубже, чем в стандартных учебниках. Изложение построено так, что более сложные, но менее существенные проблемы отнесены в конец главы (и/или в приложение к ней). Вообще, материал каждой главы опирается только на сведения, содержащиеся в самой этой главе и предшествующей ей части «основного курса». Например, завершив чтение основного курса, можно перейти к главе IX или к оставшейся части главы XII, или к главе XIV и т. д. Исключения составляют часть I главы VI, которая, как указано в ней, зависит от § 5—12 главы V, и часть III главы XII, не существенная сама по себе, но являющаяся хорошим введением к главе XIII.
Упражнения можно в первом приближении разделить на три категории в соответствии с их трудностью. Многие упражнения являются шаблонными; они дают читателю возможность проверить,
насколько он понял только что изложенные методы. Более трудные упражнения снабжены указаниями в конце книги (в некоторых случаях эти указания упрощают доказательства). Наконец, в самых трудных упражнениях даются ссылки на источники; эти упражнения должны показать возможные обобщения и направления дальнейшего развития исследований, а также ознакомить изучающих данный предмет с существующей литературой.
В теории дифференциальных уравнений существенно используется «интегрирование дифференциальных неравенств», и это обстоятельство подчеркивается сводкой некоторых основных данных, относящихся к этой области, в главе III и в § 4 главы IV.
Большая часть материала этой книги подобрана так, чтобы продемонстрировать не только результаты, но и важнейшие методы: сведение задач теории дифференциальных уравнений к теории «отображений» (см. приложение к главе VII и главу IX); применение простых топологических соображений (§ 1 главы VIII, § 2—7 главы X и § 6 главы XIV); использование теорем о неподвижной точке и других основных результатов функционального анализа (см. главы XII и XIII).
С чувством глубокой признательности я вспоминаю ныне покойного профессора Аурела Уинтнера, у которого и вместе с которым я изучал теорию дифференциальных уравнений, сначала как студент, а затем как сотрудник. Эта признательность носит не только личный характер (нас связывали многолетние узы тесного сотрудничества), но и обусловлена тем вкладом, который внес профессор Уинтнер в возрождение теории дифференциальных уравнений после второй мировой войны.
Филип Хартман, Балтимора, Мериленд
