§ 4. Оценки для ||Py(t)||

Напомним, что через мы всегда обозначаем неотрицательную интегрируемую функцию на с носителем на отрезке это норма пространства на

Пусть фиксированы. Предположим, что для каждой пары решений уравнения (3.2) с и для всякой функции удовлетворяющей условиям § существует функция такая, что

(iv) существует постоянная К (зависящая от такая, что при

Кроме того, если решение уравнения (3.2), то функция интегрируема по всякому замкнутому интервалу лежащему в

Замечание 1. Это предположение будет использоваться только в одном частном случае:

В этом случае условие означает, что

а в силу неравенства Гёльдера

Замечание 2. Предположение выполняется при всех если оператор, ассоциированный с системой (0.1), как в замечании из § 3, т. е. В самом деле, пусть

Тогда при

Теорема 4.1. Предположим, выполнены условия при фиксированном Пусть при некотором Тогда

где постоянные из условия и леммы 3.4 соответственно. В частности, если фиксировано и либо

индуцирует частичную дихотомию для и

В приложениях теоремы 4.1 будет существенным то, что зависит от но не зависит от Неравенства (4.10), (4.12) в приведенном ниже доказательстве будут использованы при доказательстве теорем 4.2 и 4.3.

Доказательство. Применим выбирая соответствии с (4.1), так что из следует (4.2). Из условий получаем Поскольку в силу (i) и условия на из леммы 3.4 и (4.2) видно, что Ног Из в условии следует, что

Поэтому неравенство (4.4) является следствием условия 4.3.

Для доказательства утверждений, связанных с (4.5), заметим, что при если Поэтому, каковы бы ни были из неравенства (4.4) вытекает, что при

имеет место соотношение

Из соотношений (1.5) и видно, что

Поэтому при

где определено в (4.6).

Рассматривая (4.10) для случая вместе с неравенством

получаем условие (а) (т. е. частичной дихотомии для и постоянной определенной по (4.6), — можно даже отбросить множитель 2 перед вторым слагаемым. Точно так же, полагая в (4.10) и используя аналог неравенства (4.11), получаем условие (b) (т. е. и тем же

Чтобы доказать наше утверждение для случая второй функции в (4.5), применим аналог неравенства (4.9) к левой части (4.8) с и получим

если При пусть такое целое число, что Тогда, заменяя на заменяя на при и складывая полученные неравенства, будем иметь

Кроме того,

Если заменить в правых частях двух последних неравенств верхние пределы интегрирования на то можно получить второе из двух следующих ниже неравенств:

при Другое неравенство, относящееся к первому интегралу, получается аналогично. Объединяя (4.13) с неравенствами вида

мы докажем частичную дихотомию для второй функции в (4.5) с и постоянной из (4.6). Этим доказана теорема 4.1.

Следствие 4.1. Пусть выполнены предположения теоремы 4.1., пространство квазиполно (см. (ix) в § 1) и функция не является PD-решением уравнения (3.2). Тогда

Это следует из (4.4), если положить и определения квазиполного пространства.

Следствие 4.2. Пусть выполнены предположения теоремы 4.1; пространство конечномерно; функция определена, как в (4.5), а в том случае, когда она совпадает с первой функцией из (4.5), непрерывна. Пусть множество начальных значений для удовлетворяющих условию при Тогда индуцирует частичную дихотомию для

Упражнение 4.1. Проверьте это следствие, используя лемму 2.3 и теорему 4.1 (а также ее доказательство).

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы или Кроме того, пусть условие выполнено для всех с постоянными зависящими от Пусть множество функций для и пусть каждой функции сопоставлено «начальное значение» Предположим, что непрерывно зависит от если Тогда индуцирует полную дихотомию для

Доказательство. Как видно из доказательства теоремы 4.1, оценка (4.12) справедлива при Поскольку постоянная в (4.6) равна Поэтому

Устремляя к 0, получаем

при В силу леммы 2.1 теорема 4.2 доказана.

Теорема 4.3. Пусть выполнены условия при всех с постоянными не зависящими от Предположим, что

Тогда индуцирует экспоненциальную дихотомию для функций (4.5) при каждом фиксированном постоянной зависящей от и постоянными не зависящими от

Заметим, что если где то (4.14) выполняется при

Доказательство. Теорема 4.3 будет выведена из лемм 2.4, 2.5 и теоремы 4.1. Мы проведем доказательство только для первой функции в (4.5); доказательство для другой функции аналогично. Условие (4.14) эквивалентно условию

Чтобы убедиться в этом, заметим, что если целое число, удовлетворяющее условию то Это следует из того факта, что — «наилучшая» возможная постоянная в Поэтому при всех и вторая из функций переменной в (4.14) ограничена, если К тому же из равенства при следует, что при Аналогичные рассуждения применимы к первой функции в (4.14), а потому (4.14) и (4.15) эквивалентны.

Пусть фиксировано и настолько велико, что

Пусть так что неравенство (1.7) в условии (а) частичной дихотомии выполняется при Полагая

в (4.10), получаем

если Поэтому при фиксированном условие (а) [см. (1.10)] экспоненциальной дихотомии с следует из леммы 2.4, примененной к (Поэтому не зависят от Если выберем целое число так, чтобы Очевидно, По уже доказанной части утверждения имеем

при В силу условия (1.7) частичной дихотомии

Эти два неравенства дают условие (а) экспоненциальной дихотомии с

Чтобы получить условие (b) (см. 1.11)), рассмотрим вначале фиксированное Пусть столь велико, что Пусть . Тогда неравенство (1.8) в условии (b) частичной дихотомии выполняется Полагая в (4.10), получаем

Применяя лемму 2.4 к получаем условие (b) экспоненциальной дихотомии при

Если соответствующее условие (b) при всех с тем же будет выведено из леммы 2.5. В самом деле, условие (2.22) мы уже проверили. Условие (2.1) очевидно, а (2.2) следует из (3.6) с Условие (2.3) следует из оценки (3.3), примененной к что дает вместе с (1.5) неравенство

В самом деле, поскольку из (1.8) вытекает неравенство при если отсюда следует оценка (2.3) с Наконец, (2.23) вытекает из (4.10) с Таким образом, условие (b) экспоненциальной дихотомии справедливо при

Как и в случае можно показать, что условие (b) справедливо при с подходящими постоянными не зависящими от Наконец, аналогичные рассуждения показывают, что можно выбрать для всех Тем самым теорема 4.3 доказана.

Теорема 4.4. Пусть выполнены предположения теоремы 4.3 и, кроме того, существует подпространство индуцирующее частичную дихотомию для Тогда и индуцирует экспоненциальную дихотомию для

Доказательство. В силу теоремы индуцирует экспоненциальную дихотомию для где при некотором Отсюда видно, что если то функция не ограничена при и потому Последовательно, Если же то утвержение, при не имеет места и потому Поэтому значит,

Используя тот факт, что индуцирует частичную дихотомию для и экспоненциальную дихотомию для легко видеть, что это подпространство индуцирует экспоненциальную дихотомию для Детальное доказательство мы предоставляем читателю.

Теоремы 4.1 и 4.4 можно сразу же применить в случае, когда оператор определен по системе (0.1); такие результаты излагаются в § 6. Эти теоремы непригодны в случае операторов, связанных с системой (0.3), если при этом не налагаются условия ограниченности на коэффициенты Главная трудность связана с тем фактом, что в общем случае условие не выполняется. В следующем параграфе содержатся теоремы, применимые как к системе (0.3), так и к системе (0.1).