§ 10. Уравнения второго порядка

В этом параграфе (следствие 10.1) мы укажем некоторые применения теоремы Пуанкаре — Бендиксона, которые связаны с уравнением второго порядка

для вещественной функции и. Это уравнение эквивалентно следующей автономной системе первого порядка

Если произведение то член в (10.1) называется «упругой силой» (по аналогии с уравнением гармонического осциллятора Если то «сила сопротивления», член стремится уменьшить скорость (как в уравнении с постоянной Следующую теорему можно интерпретировать так: если упругая сила и сила сопротивления не слишком малы, то решения уравнения 10.1 ограничены.

Теорема 10.1. Пусть вещественные непрерывные функции, определенные для всех и обладающие следующими свойствами:

i) решения системы (10.2) однозначно определяются начальными условиями;

ii) существует число такое, что

iii) существует число такое, что

iv) если , то

Тогда существует жорданова кривая С, ограничивающая некоторую область содержащую начало координат, такая, что на С нет точек выхода для области а если и есть решение системы (10.2), начинающееся в момент то и существует при всех при больших

Достаточным условием выполнения свойства является существование числа такого, что для Отметим, что в приводимом ниже доказательстве условие используется не полностью и требуется лишь, чтобы для для где по для при где по с некоторым фиксированным

Доказательство. Вдоль дуги решения системы (10.2) имеем

Далее будут означать производные в (10.2), производную в (10.8). Пусть для Тогда из (10.5) и (10.8) мы получаем, что

Пусть положительная непрерывная возрастающая функция от такая, что

Тогда из неравенств следует, что и потому

Рассмотрим дуги

при больших значениях Эти дуги расположены симметрично относительно u-оси. Часть каждой такой дуги и отрезок линии (или образуют жорданову кривую, ограничивающую некоторую область см. рис. 19. Вдоль

решения и системы (10.2) функция имеет производную если

Рис. 19.

Значит, функция убывает, так что дуга входит в при увеличении сразу же после пересечения с граничной кривой области и остается в до тех пор, пока

Рис. 20.

Для удобства перенесем построения, связанные с С, на рис. 20. Буква на этом рисунке обозначает или точку, или одну из ее

координат; например обозначает или точку или ординату Выберем столь большим, чтобы

Выберем так, чтобы дуга проходила через точку например, В частности, проходит через точку Пусть обозначает точку, где пересекается с u-осью.

Пусть есть решение системы (10.2), определенное начальными условиями Когда убывает от нуля, убывает, возрастает до тех пор, пока не примет значения а в некоторой точке Это вытекает из соотношения так как из него следует, что пока и а. Обозначим через дугу В силу приведенных выше рассуждений часть дуги для имеет с только одну общую точку В частности, если при и если то Кроме того, на согласно (10.8), при Значит, если то

Положим Тогда тангенсы угла наклона прямолинейных отрезков, соединяющих равны по меньшей мере и поэтому превосходят в силу (10.13). Определим число равенством так что дуги будут проходить через точки

Пусть С обозначает жорданову кривую, состоящую из дуги от до прямолинейного отрезка от до у, дуги от у до , прямолинейного отрезка от —у до , горизонтального· отрезка от до и дуги от А до Пусть внутренняя область кривой С.

Убедимся сначала, что точки кривой С, за исключением точек на являются для точками строгого входа. Для этого достаточно проверить, что дуги решений системы (10.2), достигающие прямолинейных отрезков на С, пересекают С так, как указано на рис. 20. Это ясно для горизонтального отрезка, соединяющего так как там согласно (10.11), а монотонна (при Угловой коэффициент соединяющего с равен в то время как вдоль этого отрезка силу (10.9), поскольку согласно (10.13). Аналогично, угловой коэффициент отрезка, соединяющего больше чем и на нем

Остается показать, что каждое решение и системы начинающееся с существует для всех и что для больших Для этого сначала обозначим через а жорданову кривую С через Тогда для каждого описанное выше построение дает жорданову кривую и ее внутреннюю область Множества возрастают вместе с а объединение при находится во внешней области Пусть и есть решение системы (10.2), начинающееся в некоторой точке из при Пока остается в U, для каждого существует единственная функция такая, что является невозрастающей функцией от Отсюда следует, что существует для всех следствие II.3.2.

Допустим, что и никогда не входит в так что для всех Пусть при Тогда (и когда увеличивается, подходит как угодно близко к В этом случае, однако, ясно, что для произвольно больших Но тогда при больших что противоречит монотонности Теорема доказана.

Следствие 10.1. Предположим, что выполнены условия теоремы 10.1 и, кроме того, для и что для и начало координат есть единственная стационарная точка для системы (10.2)), и допустим, начало координат ни для какого решения системы (10.2) не является -предельной точкой. Тогда система (10.2) имеет периодическое решение асимптотически орбитально устойчивое извне при а внутренняя область жордановой кривой содержит начало координат.

Доказательство. Если для какого-либо решения начало координат не является -предельной точкой, то из теоремы Пуанкаре — Бендиксона (теорема 4.1) следует, что множество -предельных точек является периодическим решением поскольку при больших

Жорданова кривая содержит внутри себя, по теореме 3.1, начало координат. Отсюда также следует, что если существуют два периодических решения, то одна из соответствующих жордановых кривых содержит в ее внутренней области другую. Так как все периодические орбиты содержатся в компакте то существует единственное периодическое решение такое, что жорданова кривая содержит все периодические решения в своей внутренней области.

Периодическое решение асимптотически орбитально устойчиво извне при Чтобы убедиться в этом, рассмотрим решение и выходящее при из некоторой точки, принадлежащей внешней области кривой Поскольку начало

координат не является для решения и условию) -предельной точкой, множество его -предельных точек составляет периодическую орбиту (теорема 4.1), которая необходимо совпадает с Значит, наше утверждение следует из теоремы 5.2.

Упражнение 10.1. (а) Пусть непрерывны для всех , и пусть непрерывна для всех Предположим, что решения уравнения

определяются начальными условиями однозначно. Пусть существуют положительные постоянные такие, что для для всех ; для всех для больших и та при Тогда на -плоскости существует жорданова кривая С, такая, что если и есть решение уравнения (10.15), начинающееся при то и существует для точка ( при больших принадлежит внутренней области кривой не может выйти из при увеличении Если, кроме того, периодична с периодом то уравнение (10.15) имеет решение периода См. Опяль [7].

Упражнение 10.2. Покажите, что теорема 10.1 остается справедливой, если в ней условие (iii) усилено так: для а условие (iv) ослаблено так: для

Частным случаем уравнения (10.1) является уравнение

Если то (10.16) называется уравнением Льенара. Изящные простые рассуждения показывают, что при некоторых условиях уравнение (10.16) имеет периодическое решение, которое является единственным (с точностью до сдвигов по независимому переменному Уравнение (10.16) мы будем рассматривать как систему первого порядка

где

Теорема 10.2. Пусть непрерывны для всех и обладают следующими свойствами: (i) решения системы (10.17) определяются начальными условиями однозначно; т. е. функция четная; для и возрастает для наконец, (iii)

функция нечетная, и для и Тогда система (10.17) имеет ровно одно периодическое решение с точностью до сдвигов по аргументу и это решение асимптотически орбитально устойчиво (извне и изнутри) при

Конечно, является (периодическим) решением системы (10.17) в том и только в том случае, когда и является (периодическим) решением уравнения (10.16).

Доказательство. Функции в правых частях системы (10.17) являются нечетными функциями от так что если и есть ее решение, то тоже будет решением.

Рис. 21.

Касательная к дуге решения и горизонтальна в точке ( тогда и только тогда, когда и вертикальна тогда и только тогда, когда

Последующие рассуждения иллюстрируются рисунком 21. Вдоль решения, начинающегося в точке возрастает, а убывает до тех пор, пока не станет равной скажем в точке После этого и убывает, продолжает убывать, и решение остается ниже кривой до тех пор, пока не пересечется с у-осью, скажем в точке . В противном случае решение имело бы горизонтальную касательную в точке, где и или стремилось бы к когда и стремилось бы к конечному значению, а это невозможно, так как

Из соображений симметрии ясно, что продолжение этого решения замкнется в том и только в том случае, когда

Очевидно, мы можем начать движение с любой точки т. е. точки и определять точки или двигаясь вдоль соответствующего решения при убывании или увеличении Положим Тогда, если

где криволинейный интеграл берется вдоль дуги решения от точки до (через

Если то так как вдоль решения Если обозначим через точки, в которых решение пересекает прямую см. рис. 21. Запишем

Вдоль дуг решения, относящихся к согласно (10.19). Значит, на на так что При возрастании у дуга поднимается вверх, так что функция убывает; дуга при этом опускается вниз, так что убывает. Значит, при возрастании убывает.

На дуге имеем Поэтому

Если имеет параметрическое представление то ясно, что и а значит и является возрастающей функцией от Следовательно, из неравенства следует, что убывает при возрастании Если и то где некоторая постоянная. Отсюда вытекает, что при

Таким образом, при убывает при при (так как убывает). Следовательно, существует единственное такое, что Соответствующее решение системы (10.17) является нетривиальным периодическим решением, которое единственно с точностью до сдвигов параметра

Тот факт, что для для доказывает, что это периодическое решение асимптотически орбитально устойчиво извне (изнутри) при

Упражнение Проверьте, что теорема 10.2 применима к уравнению ван дер Поля

где постоянная. (b) Пусть для (10.20) выписана соответствующая система (10.17). Каков характер ее стационарной точки (

Упражнение 10.4. Покажите, что если в теореме 10.2 снять условие и возрастает при и а», то она останется справедливой, если заменить выражения «ровно одно» на «по крайней мере одно» и «извне и изнутри» или на «извне», или на «изнутри».

Рис. 22.

Упражнение 10.5. Пусть удовлетворяют предположениям теоремы 10.2; кроме того, пусть возрастает при некоторая постоянная. Пусть обозначает предельный цикл в -плоскости уравнения

т. е. единственное нетривиальное периодическое решение системы

Покажите, что при цикл стремится к замкнутой кривой, состоящей из двух горизонтальных прямолинейных отрезков и двух дуг кривой как это показано на рис. 22; см. Лефшец [1, стр. 342—346].