§ 6. Существование инвариантных многообразий

Из следствия 5.2 вытекает следующее утверждение:

Теорема 6.1. Пусть в дифференциальном уравнении

функция принадлежит Предположим, что постоянная матрица имеет собственных значений с отрицательными вещественными частями, равными а где врежя остальные собственные значения, есла они существуют, имеют неотрицательные вещественные части. Если то система (6.1) имеет решения для которых

а для все таких решений

Кроме того, для достаточно малого точка а множество точек которые принадлежат решениям удовлетворяющим неравенству при некотором когда образуют локально инвариантное многообразие класса размерности

Очевидно, что отсюда можно получить следующее утверждение:

Следствие 6.1. Пусть при малых Система (6.1) имеет решение удовлетворяющее (6.2) при некотором тогда и только тогда, когда имеет хотя бы одно собственное значение с отрицательной вещественной частью.

Относительно другого доказательства теоремы 6.1 и ее обобщения на неавтономные системы см. §§ Х.8 и Х.11.

Доказательство. Если заменить на то последняя часть теоремы 6.1 вытекает из результатов § 4 и следствия 5.2 с Эти же рассуждения позволяют доказать, что при из неравенства

вытекает неравенство

при если положить Поэтому равенство

при некотором влечет за собой

Замечание. Аналогичные результаты мы имеем для решений удовлетворяющих условию при

Это следует из того, что после замены на система (6.1) переходит в систему

к которой можно применить теорему 6.1.

Рассуждения, использованные нами при доказательстве теоремы 6.1 и следствия 5.2, позволяют доказать следующее утверждение.

Теорема 6.2. Пусть такие же, как в последней теореме. Предположим, кроме того, что имеет собственных значений с положительными вещественными частями. Пусть решение системы (6.1), удовлетворяющее условию соответствующее отображение Пусть Тогда существует такое отображение окрестности точки в -пространстве на окрестность начала координат в евклидовом -пространстве, где что имеет не равный нулю якобиан, имеет вид

причем и их производные по обращаются в нуль в точке Кроме того, если то если то наконец, а собственные значения равны по абсолютной величине 1.

Отметим, что замена переменных переводит (6.1) в систему вида

где равны при не обязательно принадлежат если если

Условие при (или когда означает, что -мерная плоскость (или -мерная плоскость является локально инвариантным многообразием. Если не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью, то переменные отсутствуют; в этом случае многообразие (или образованное дугами решений, стремящихся к нулю при называется устойчивым (соответственно неустойчивым) многообразием системы (6.1), проходящим через точку