Глава XII. Некоторые применения теорем о неявных функциях и неподвижных точках

Многие вопросы теории дифференциальных уравнений решены с помощью теории неявных функций — либо в классическом ее виде, либо в более общем виде, включающем теоремы функционального анализа о неподвижных точках. Эта глава и посвящена некоторым таким приложениям. В части I рассматриваются вопросы существования периодических решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. В части II изучаются решения одной граничной задачи для уравнений второго порядка. В части III излагается некоторая общая абстрактная теория и в качестве иллюстрации рассматривается ее приложение к вопросам асимптотического интегрирования.

Хотя части I и II и являются применениями общей теории части III, мы их излагаем по некоторым причинам отдельно. Первая причина заключается в важности и сравнительной простоте рассматриваемых вопросов. Вторая — в том, что части I и II дают некоторую мотивировку для излагаемой в части III абстрактной теории. Третья и наиболее важная причина состоит в том, что в дифференциальных уравнениях всякая общая теория обычно дает лишь направление для дальнейших исследований. Ее использование в конкретных ситуациях, как правило, связано с получением надлежащих сложных оценок, которые позволяют установить, возможно ли применить эту общую теорию.

В дальнейшем будут использоваться две следующие общие теоремы. Первая из них является очень простой.

Теорема 0.1. Пусть -банахово пространство элементов с нормами Обозначим через отображение шара пространства в пространство удовлетворяющее условию с некоторым Пусть Тогда отображение То имеет единственную неподвижную точку т. е. такую точку что Более того, эта точка может быть получена как предел последовательных приближений

Замечание. Если отображает шар в себя, то условие можно отбросить.

Упражнение 0.1. Убедитесь в справедливости теоремы 0.1 и следующего за ней замечания.

Более сложной является теорема 0.2 о неподвижной точке.

Теорема Тихонов). Пусть линейное локально выпуклое топологическое пространство, компактное выпуклое подмножество пространства отображение в себя. Тогда отображение имеет неподвижную точку т. е.

Далее часто используется такое следствие этой теоремы:

Следствие 0.1. Пусть линейное локально выпуклое топологическое полное хаусдорфово пространство (например, пространство Фреше или банахово пространство). Пусть замкнутое выпуклое подмножество отображение в себя, такое, что образ множества имеет компактное замыкание. Тогда То имеет неподвижную точку

Теорема 0.2 сначала была доказана Шаудером при условии, что банахово пространство, и в этом случае ее обычно называют «теоремой Шаудера о неподвижной точке». Доказательство теоремы 0.2 см. в работе Тихонова II].

В частях I и II следствие 0.1 используется в случае, когда является банаховым пространством или а в части III — в случае, когда есть некоторое простое пространство Фреше, а именно пространство непрерывных на функций с топологией равномерной сходимости на замкнутых отрезках из

Следствие 0.1 получается из теоремы 0.2 следующим образом. Пусть определены так же, как в следствии 0.1. Обозначим через замыкание множества так что есть компакт. Кроме того, так как замкнуто. При наложенных условиях на выпуклое замыкание множества (т. е. наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее является компактным, так как компактно само (В приводимых ниже приложениях этот результат является непосредственным следствием теоремы Арцела; см., например, замечание после доказательства теоремы 2.2.) Обозначим через это выпуклое замыкание множества Так как выпукло, то Значит, является непрерывным отображением выпуклого компакта в себя (действительно и потому следствие вытекает из теоремы 0.2.

Рассуждения, проводимые в части III, опираются на теорему функционального анализа об открытом отображении. Мы будем использовать ее в следующей форме:

Теорема 0.3 (теорема об открытом отображении). Пусть банаховы пространства, а То — линейный оператор, действующий

из с областью определения являющейся линейным многообразием в и областью значений Пусть оператор является замкнутым, т. е. его график есть замкнутое множество в банаховом пространстве с нормой Тогда существует постоянная обладающая тем свойством, что для каждого существует по крайней мере один элемент такой, что В частности, если отображение взаимно однозначно, так что единственно, то неравенство верно для всех

Доказательство теоремы об открытом отображении, сформулированной следующим образом: «Если непрерывное линейное отображение из банахова пространства X в другое банахово пространство с областью определения 3) и областью значений отображает открытые множества в открытые», см. в книге Банаха [1, стр. 38—40] Теорема 0.3 получается в результате применения этой теоремы Банаха к отображению проектирования где с учетом того, что шар с центром в начале имеет -образ, содержащий шар с центром в начале

С целью мотивировки последующего изложения рассмотрим задачу нахождения решения дифференциального уравнения

в некотором множестве функций Перепишем это уравнение в виде

Предположим, что при некотором выборе для каждого уравнение

имеет решение Определим оператор положив где есть подходящим образом выбранное решение уравнения (0.2). Тогда ясно, что неподвижная точка отображения т. е. точка, где является решением уравнения (0.1) в

Для того чтобы применить только что сформулированные теоремы, предположим, что является подмножеством некоторого подходящего топологического векторного пространства Обычно удобно ввести другое пространство и два оператора Оператор является линейным дифференциальным оператором так что если

Кроме того, мы будем предполагать, что если то принадлежит и тогда отображение определяется следующим образом: Исследование оператора сводится тогда к изучению линейного дифференциального оператора и нелинейного оператора

Необходимость применения теоремы 0.3 возникает в ситуациях следующего типа. Предположим, что банаховы пространства и что обозначают нормы элементов соответственно. Допустим, что: 1) для каждого уравнение (0.3) (т. е. имеет единственное решение ; 2) зависит от линейно и 3) существует постоянная такая, что Пусть для отображения существует постоянная такая, что для Тогда удовлетворяет условию Согласно теореме 0.1, последовательные приближения

будут сходиться тогда к неподвижной точке отображения (при надлежащих условиях на

В некоторых ситуациях уравнение может иметь решение у, удовлетворяющее условию хотя у не единственно; см., например, теорему 0.3. В этом случае у не обязательно зависит от линейно, но последовательные приближения тогда можно получить следующим образом. Для данного положим где у — решение уравнения Если уже определены для определим из уравнения и неравенства Впрочем, эта ситуация в дальнейшем нам не встретится.

Если неравенства установить нельзя, то теорему 0.2 все еще можно применить для доказательства существования неподвижной точки отображения