§ 13. Кратные особенности

В этом параграфе будет доказана теорема о числе аналитических решений одного частного вида линейных однородных систем, для которых точка является особой, но не обязательно простой.

Теорема 13.1 (Леттенмейер). Пусть -матрица, аналитическая в точке Пусть есть целое число для и пусть где а Тогда система

имеет по крайней мере а линейно независимых решений, аналитических в точке

Эта теорема является обобщением теоремы 11.4, которая соответствует случаю а или 1; ср. упр. 11.5.

Доказательство. Решения системы (13.1), аналитические в точке будут найдены методом неопределенных коэффициентов. Пусть функции имеют в окрестности нуля следующие разложения:

Рассмотрим решение системы (13.1), компоненты которого суть сходящиеся ряды

Тогда коэффициенты должны удовлетворять системе

где Ясно что при Обратно, если совокупность чисел удовлетворяет (13.4) и каждый из рядов (13.3) для при малых сходится, то вектор будет решением системы (13.1), аналитическим в точке

Пусть некоторое достаточно большое фиксированное целое число, точное значение которого будет определено позже. Разобьем систему на две системы:

Так как по предположению ряды (13.2) являются сходящимися, то существуют положительные числа такие, что

Пусть Введем следующие обозначения:

Последние соотношения эквивалентны следующим:

Таким образом, система 22 может быть переписана в виде

где или, иначе, в виде

и, наконец, так:

Ясно, что внутренняя сумма в левой части (для равна нулю, если

Пусть фиксированные целые числа, удовлетворяющие неравенствам Рассмотрим вместо (13.10) следующую систему:

где Покажем, что если достаточно велико, то система (13.11) имеет решение удовлетворяющее условиям

Для этой цели заметим сначала, что, согласно (13.7) и (13.9)

Значит, если подходящим образом выбранные постоян (не зависящие от то

Отсюда при достаточно большом и произвольных допустимых получим

Начиная с этого места, мы будем считать, что выбрано так, что справедливы неравенства (13.13) и (13.14). Обозначим через некоторое фиксированное целое число и заменим бесконечную систему (13.11), где конечной системой уравнений

где

Систему (13.15) можно переписать в виде

где через обозначен -мерный вектор с компонентами ; через обозначен -мерный вектор с компонентами для значений а через С — некоторая -матрица. Из (13.13) и (13.14) ясно, что (в евклидовой норме)

Значит, система (13.17) имеет единственное решение удовлетворяющее условию так как Следовательно, конечная система (13.15) имеет единственное решение причем

Используя канторовский диагональный процесс (теорема 1.2.1), можно выбрать такую последовательность целых чисел что существуют пределы

Заметим, что определяемое соотношениями (13.15) и (13.16) число при Поэтому, устремив в (13.15) число мы получим, что при являются решением системы (13.11), удовлетворяющим неравенству (13.12).

Следовательно, если произвольные чисел, определенные для то решение системы (13.10) для будет задаваться соотношениями

Другими словами, уравнения системы из (13.6) (т. е. уравнения системы (13.10) для удовлетворены, если для выполнены соотношения Таким образом, если или, что эквивалентно, будут удовлетворять системам и (13.18), то они будут удовлетворять и исходной системе Положим Очевидно, что система 21 содержит неизвестных где ; см. (13.4) для Таким образом, система состоит из уравнений, где

Добавим к системе множество (возможно, пустое) уравнений

Система состоит из уравнений и содержит те же самые неизвестных, что и Значит, объединенная система и имеет по крайней мере линейно независимых решений.

Взяв произвольное решение объединенной системы мы из уравнений и системы найдем соответствующее решение системы Полученное в итоге множество чисел где будет решением систем и (13.18) найдется постоянная такая, что значит, для всех Следовательно, если то ряды (13.3) для всех сходятся. Теорема доказана.

Упражнение 13.1 (Перрон). Пусть функции являются аналитическими при Пусть — целое число, Покажите, что уравнение

имеет по крайней мере а линейно независимых решений, аналитических в точке

Упражнение 13.2 (Леттенмейер). (а) Пусть и суть -матрицы, аналитические в точке Пусть имеет в точке нуль порядка Тогда система

имеет по крайней мере а линейно независимых решений, аналитических в точке Пусть матрицы и аналитические в односвязной -области такой, что в ней имеет точно а нулей с учетом их кратности. Пусть Тогда система (13.19) имеет по крайней мере а линейно независимых решений аналитических в

Упражнение 13.3. Пусть матрица такая же, как в упр. Пусть некоторый -мерный вектор, каждая компонента которого является аналитической функцией (т. е. представляется сходящимся степенным рядом) от Тогда система

имеет -параметрическое семейство решений аналитических в точке . См. Басс [1].

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)