§ 10. Доказательство теоремы 8.3

Ниже будет показано, что вектор принадлежит классу в частности При этом мы будем считать, что все переменные и функции вещественны. Этого Достаточно для доказательства, поскольку, отделяя вещественную

и мнимую части в системе (8.1), мы получим вещественую систему; как мы отмечали выше (после формулы (3.2)), при этом

Пусть — некоторый вектор единичной длины в -пространстве и — малое вещественное число. В силу леммы

удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению вида

лричем в силу непрерывности

равномерно на ограниченных -множествах, если матрица Якоби функции по В силу неравенства, аналогичного (9.8), функция не превосходит величины

Из доказательства неравенства (9.8) и аналога неравенства (4.17) в лемме 4.1 видно, что эта величина меньше, чем

Поэтому при фиксированных семейство функций (10.1) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно по на ограниченных -интервалах при Следовательно, существует последовательность такая, что и соответствующие отношения (10.1) стремятся к пределу равномерно на ограниченных множествах значений Этот предел удовлетворяет линейной системе уравнений

начальным условиям вида при некотором Из последнего неравенства видно, что или

В силу (8.8), Из теорем 8.1 и 8.2 следует, что если достаточно велико, то существует единственный вектор 2, обладающий следующим свойством: система (10.4) имеет решение, для которого и выполняется (10.5). Следовательно, выбор последовательности является излишним

и

существует равномерно на ограниченных -интервалах и является тем единственным решением системы (10.4), для которого выполняется соотношение (10.5) и для единственного

Таким образом, функция имеет частные производные по компонентам вектора Непрерывность этих производных как функций от следует из (10.4) с помощью рассуждения, аналогичного использованному для доказательства (10.6). Существование и непрерывность производных доказывается так же, как и формула ( в теореме

Отметим, что если то система (10.4) сводится при к системе Для единственного решения этой линейной системы при условии (10.5) мы имеем Следовательно, и при это дает равенство и завершает доказательство теоремы 8.3.