и мнимую части в системе (8.1), мы получим вещественую систему; как мы отмечали выше (после формулы (3.2)), при этом
Пусть 
— некоторый вектор единичной длины в 
-пространстве и 
— малое вещественное число. В силу леммы 
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению вида
лричем в силу непрерывности 
равномерно на ограниченных 
-множествах, если 
матрица Якоби функции 
по 
В силу неравенства, аналогичного (9.8), функция 
не превосходит величины
Из доказательства неравенства (9.8) и аналога неравенства (4.17) в лемме 4.1 видно, что эта величина меньше, чем
Поэтому при фиксированных 
семейство функций (10.1) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно по 
на ограниченных -интервалах при 
Следовательно, существует последовательность 
такая, что 
и соответствующие отношения (10.1) стремятся к пределу 
равномерно на ограниченных множествах значений 
Этот предел удовлетворяет линейной системе уравнений
начальным условиям вида 
при некотором 
Из последнего неравенства видно, что 
или
В силу (8.8), 
Из теорем 8.1 и 8.2 следует, что если 
достаточно велико, то существует единственный вектор 2, обладающий следующим свойством: система (10.4) имеет решение, для которого 
и выполняется (10.5). Следовательно, выбор последовательности 
является излишним
принадлежит классу 
в частности 
При этом мы будем считать, что все переменные и функции вещественны. Этого Достаточно для доказательства, поскольку, отделяя вещественную
-интервалах и является тем единственным решением системы (10.4), для которого выполняется соотношение (10.5) и 
для единственного 
имеет 
Непрерывность этих 
следует из (10.4) с помощью рассуждения, аналогичного использованному для доказательства (10.6). Существование и непрерывность производных 
доказывается так же, как и формула (
в теореме 
то система (10.4) сводится при 
к системе 
Для единственного решения 
этой 
Следовательно, 
и при 
это дает равенство 
и завершает доказательство теоремы 8.3.
