§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение)

В этом параграфе мы обобщим теорему 8.1, доказав ее без дополнительных предположений относительно Положим для этого так что задача Коши для системы (8.1) принимает такой вид:

Будем предполагать, что собственные значения матриц таковы, что

для некоторого числа

Теорема 11.1. Пусть система (8.1) эквивалентна системе (11.1), где матрицы, удовлетворяющие условию (11.3), и пусть будут такими же, -реме 8.1. Тогда существуют и для каждого такая постоянная что если то существует вектор обладающий следующим свойством: задача (11.1), (11.2) имеет при решение, удовлетворяющее условию и

Эта теорема, в которой речь идет о некоторых решениях системы (8.1), сразу вытекает из леммы если Заметим, что если наименьшая (или наибольшая) вещественная часть собственных значений матрицы [так что вектор в системе (11.1) отсутствует], то соответствующее утверждение остается в силе. В самом деле, этот случай содержится в теореме 11.1; отсутствующие переменные можно формально добавить к системе (8.1), выбрав матрицы или надлежащим образом и положив или В следующей теореме речь идет обо всех решениях системы (8.1).

Теорема 11.2. Пусть выполнены все условия теоремы 11.1, наложенные на Если пусть любое решение системы (8.1); если пусть такое решение системы (8.1) для больших для которого

Тогда предел (11.5) существует и является вещественной частью некоторого собственного значения матрицы Если, кроме того, система координат в -пространстве выбрана так, что система (8.1) имеет вид (11.1) и справедливы неравенства (11.3), то вектор удовлетворяет условию (11.4).

Очевидно, что первая часть следствия 8.1 допускает аналогичное обобщение.

Следствие 11.1. Пусть выполнены предположения теоремы 11.1 (или теоремы 11.2), но вместо (8.2) выполняется (8.11), и пусть Тогда утверждения теоремы 11.1 (или теоремы 11.2) остаются в силе.

Упражнение Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

с непрерывной при матрицей такой, что где непрерывная функция, удовлетворяющая условиям (4.24). Пусть и вещественные части чисел различны. Тогда для каждого система (11.7) имеет такое решение что при больших при для при Докажите, что если то при с некоторой постоянной

Упражнение 11.2. Пусть где квадратные матрицы, собственные значения которых удовлетворяют условию (11.3). Пусть матрица непрерывна при и система (11.1) совпадает с (11.7) при Предположим, что где непрерывная

функция и при некотором Пусть матрица порядка 1, совпадающая с постоянной Тогда вектор у одномерный. Пусть решение системы (11.7), удовлетворяющее (11.4) и (11.5). Докажите, что существует такая постоянная с что

где диагональный элемент матрицы который является коэффициентом при у во втором уравнении системы (11.1). Отметим, что это уравнение имеет вид где - строка матрицы

Упражнение 11.3. Пусть функция непрерывна, имеет непрерывные частные производные по компонентам вектора у в некоторой -области и является периодической по с периодом Пусть система

имеет периодическое решение с периодом Исследуйте поведение решений системы (11.8), удовлетворяющих условию где точка близка к кривой основываясь на следующих соображениях. Введите новые переменные

Тогда система (11.8) запишется в виде или в виде

где

матрица имеет период вектор-функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по компонентам вектора Линейная система с начальными условиями

имеет, согласно результатам теории Флоке (§ IV.6), матрицу-решение вида

где постоянная матрица. Замена переменных

преобразует систему (11.10) к виду

Применяя теоремы из § 8 и настоящего параграфа к системе (11.15), обобщите результаты §§ IX. 10 и IX. 11. (Заметим, что в рассматриваемой ситуации требуется, чтобы матрица не имела собственного значения