§ 2. Вариация постоянных

В дальнейшем мы часто будем пользоваться линейной заменой зависимых переменных в (1.1) и (1.2).

Теорема 2.1. Пусть является непрерывно дифференцируемой и невырожденной -матрицей для Тогда при линейной замене переменных где

система (1.2) преобразуется в систему

В частности, если является фундаментальной матрицей для системы

где матрица непрерывна на а система (2.2) принимает вид

Чтобы получить (2.2), достаточно заметить, что (2.1) влечет за собой так что и остается только подставить сюда у из (1.2).

В частном случае, когда где фундаментальная матрица системы (1.1), замена переменных называется «вариацией постоянных», так как она получается заменой постоянного вектора с в (1.7) переменным вектором В этом случае система (2.4) сводится к так что ее решения получаются в квадратурах:

где постоянный вектор. В силу (2.1) это равенство дает нам первую часть сформулированного ниже следствия 2.1. Вторая его часть следует из (1.10).

Следствие 2.1. Пусть фундаментальная матрица системы (1.1). Тогда решения системы (1.2) определяются формулой

В частности, если формула (2.5) принимает следующий вид:

Формулы (2.5) или (2.6) показывают, что если известны решения системы (1.1), то решения системы (1.2) определяются в квадратурах. Для произвольного с член с в (2.5) является просто произвольным решением системы (1.1).

Упражнение 2.1. Пусть непрерывна на некотором -интервале (не обязательно замкнутом или ограниченном), некоторая непрерывно дифференцируемая невырожденная матрица" фундаментальная матрица системы (1.1). Пусть при замене переменных система (1.1) принимает вид см. (2.2), где Пусть для любой матрицы А матрица является комплексно сопряженной и транспонированной к А. Обозначим через эрмитову часть матрицы Покажите, что если унитарна (т. е. то

как производная произведения равна Пусть так что матрица непрерывно дифференцируема и невырожденна. Покажите, что В частности, матрица треугольная (или диагональная), если треугольная (или диатональная).

Упражнение 2.2 (продолжение), (а) Покажите, что существует унитарная матрица такая, что треугольна; в этом случае ограничена, если ограничена Покажите, что существует ограниченная матрица такая, что диагональна. Не утверждается, что может быть выбрана так, что ограничена.