§ 2. Непрерывность

Предположение о единственности решения влечет за собой непрерывность общего решения уравнения

Теорема 2.1. Пусть функция непрерывна на открытом -множестве пусть для каждого задача Коши (1.2) с фиксированным имеет единственное решение Пусть является максимальным интервалом существования решения Тогда является полунепрерывной снизу (сверху) функцией от непрерывна на множестве

Ясно, что может принимать значение Полунепрерывность снизу функции в точке означает, что если то для всех близких к другими словами,

при Аналогично определяется и полунепрерывность сверху функции

Легко видеть, что функции не обязаны быть непрерывными. Пусть Если заменить множеством, полученным из него удалением точки то будет теперь равняться но значения для всех остальных точек вблизи не изменятся.

Замечание. Пусть определены так же, как в теореме 2.1. При фиксированных соотношение можно рассматривать как отображение, переводящее у о в у. Предположение о единственности решения задачи (1.2) для означает, что это отображение взаимно однозначно. Действительно, обратное отображение задается соотношением Из теоремы 2.1 следует, что отображение непрерывно.

Доказательство. Так как задача (1.2) может быть заменена задачей (1.4), а вектор вектором у, то без потери общности можно предположить, что не зависит от Итак, будем считать,

что определена на открытом -множестве и что задача (1.1) имеет единственное решение на максимальном интервале существования где Покажем, что в таком виде теорема 2.1 будет просто следствием теоремы II.3.2 для случая

Для чтобы убедиться в том, что функция является полунепрерывной снизу, выберем в последовательность точек таких, что при где при . Так как решение задачи (1.1) единственно, то из теоремы II.3.2 следует, что с а это и означает полунепрерывность снизу функции Доказательство полунепрерывности сверху функции проводится аналогично.

Заметим, что в случае, когда и решение задачи (1.1) единственно, выбирать подходящую подпоследовательность в теореме 11.3.2 не нужно. Отсюда следует, что является непрерывной функцией от при каждом фиксированном в действительности эта непрерывность является даже равномерной для Другими словами, для любого существует зависящее от такое, что при для всех выполняется неравенство

Но из непрерывности по при фиксированном следует, что существует зависящее от такое, что

если Поэтому, если

Доказательство теоремы 2.1 тем самым завершено.