§ 10. Периодические решения

Применим теперь леммы 5.1 и 8.1 для изучения решений в окрестности периодического решения автономной системы

Лемма 10.1. Пусть принадлежит классу в некоторой окрестности тонки Пусть решение системы (10.1), для которого

Рис. 2.

Предположим, что функция периодическая с наименьшим периодом (Таким образом, и решение существует на некотором открытом -интервале, содержащем отрезок если достаточно мало.) Обозначим через гиперплоскость ортогональную к кривой в точке Тогда существует единственная (вещественная) функция из класса при малых такая, что вела

Грубо говоря, если решение начинается в точке близкой к 0, то в момент времени близкий к решение пересекает гиперплоскость см. рис. 2.

Доказательство леммы 10.1. Эта лемма сразу же вытекает из теоремы о неявной функции. Уравнение удовлетворяется, если Производная при равна При она равна так как Отсюда следует наше утверждение.

Если рассмотреть малые то

является отображением одной окрестности точки в гиперплоскости на другую. Смысл этого определения очевиден; решение начинается при в точке это первая точка (при где решение снова встречается с Рассмотрим возможность применения лемм 5.1 и 8.1 и вытекающие из этого следствия. Грубо говоря, мы можем ожидать результатов следующего типа. С одной стороны, если матрица Якоби этого отображения в точке имеет норму, которая меньше 1, то решение является орбитально асимптотически устойчивым (в том смысле, что если точка достаточна близка к кривой то решение «стремится» к при т. е. лежит в сколь угодно малой окрестности кривой при больших С другой стороны, если и матрица Якоби этого отображения в точке имеет только» собственных значений, абсолютная величина которых меньше 1, и собственных значений с абсолютной величиной, большей 1, то множество точек Для которых «стремится» к при образует -мерное многообразие 5.

Для того чтобы вычислить собственные значения матрицы Якоби отображения : в точке рассмотрим временно произвольное (т. е. не будем требовать, чтобы Матрица удовлетворяет равенствам

В частности, при

Заметим, что фундаментальная матрица системы (10.5) и что матрица коэффициентов периодическая с периодом Из теории Флоке, изложенной в следует, что имеет вид

т.е. периодическая матричная функция, — постоянная матрица. В частности, из соотношений

следует, что

Характеристические корни (или собственные значения) ей матрицы называются мультипликаторами периодического решения Заметим, что так как матрица невырожденная. Соответственно называются характеристическими показателями, так что однозначно определены только вещественные часта характеристических показателей решения Характеристические показатели, взятые по модулю являются собственными значениями матрицы не единственна).

Если произвести линейную замену переменных то, как легко видеть, матрица заменяется на а множество характеристических корней не меняется.

Лемма 10.2. Пусть вектор удовлетворяет условиям леммы отображение определенное равенством (10.3), где Пусть мультипликаторы решения Тогда один из них, например равен являются собственными значениями матрицы

Якоби отображения в точке Кроме того, система координат в -пространстве выбрана так,

то последний столбец матрицы равен ( матрица порядка получающаяся после вычеркивания в последнего столбца и последней строки, служит матрицей Якоби отображения в точке

Доказательство. Прежде всего проверим, что

т. е. - собственное значение матрицы соответствующий собственный вектор. Заметим, что Если это равенство продифференцировать по то мы увидим, что вектор удовлетворяет следующей линейной задаче Коши:

Поскольку фундаментальная матрица этой линейной системы, равная I при имеем При из этого соотношения следует (10.9).

Таким образом, если (10.8) выполняется, то

Матрица Якоби отображения (10.3), если не налагается условие равна

При отсюда следует, что

Первый член справа — это матрица так что первые строк состоят из нулей в силу (10.8). Последнее слагаемое равно Таким образом, лемма доказана.