§ 8. Теорема единственности

Обобщение теоремы единственности, содержащейся в теореме 6.1, таково:

Теорема 8.1. Пусть функция непрерывна в открытом -множестве и пусть в существует непрерывная невырожденная матрица такая, что -формы (7.2) являются там или, более общо, -липшицевыми. Тогда задача (7.1) имеет единственное решение при любом Кроме того, функция удовлетворяет условию Липшица в любом компактном подмножестве ее области определения.

Доказательство этой теоремы мы приведем ниже, в § 10. Кроме этой теоремы можно сформулировать также теорему об односторонней единственности, аналогичную теореме III.6.2. Она приведена в следующем упражнении.

Упражнение 8.1. Пусть и А определены так же, как в теореме 8.1, с тем лишь исключением, что от формы (7.2) требуется только ее -липшицевость сверху в Тогда задача (7.1) для любого имеет решение , единственное справа от Кроме того, для имеет место неравенство вида

справедливое на любом компактном подмножестве из области определения решения

Упражнение 8.2. (Другое одностороннее обобщение следствия III.6.1.) Пусть функция непрерывна на множестве и пусть на существует непрерывная, невырожденная матрица такая, что форма (7.2) является -лип-шицевой сверху в но с соотношением (7.8), замененным на

Тогда задача (7.1) имеет единственное решение при