§ 7. Приложения к системам высшего порядка

Изучая решения системы (0.3), мы будем предполагать, что конечномерное векторное пространство с элементами и и нормой Обозначим через соответствующее банахово пространство линейных операторов переводящих в себя, с нормой И для Конечно, можно отождествить с матрицей, если фиксировать систему координат в

Функция и из -интервала со значениями в будет называться интегралом при если имеет непрерывные производные такие, что производная и абсолютно непрерывна (так что производная существует почти всюду).

Пусть в этом параграфе и если то положим

Если для является решением системы (0.3), если это интеграл и [вектор удовлетворяет системе (0.1) первого порядка, соответствующей вектору уравнениям при и системе (0.3). Ясно, что при таком отождествлении системы (0.3) с (0.1) определение (7.1) индуцирует такое определение нормы при котором

В соответствии с этим справедливо неравенство (0.5).

Оператор определенный для системы (0.3), действует из Область определения этого оператора — это множество векторов где функция является интегралом при — ее производные. Далее, вектор определяется из следовательно, см. § 3. Наконец, это множество таких для которых функция является решением однородного уравнения (0.4); т. е. это множество решений системы (0.2).

Следующая лемма не имеет никакого отношения к дифференциальным уравнениям.

Лемма 7.1. Пусть положительное целое число. Тогда существует постоянная такая, что если является интегралом на отрезке то для его производных выполняется оценка

при

Доказательство. Достаточно проверить соответствующее неравенство

в случае, когда вещественная функция на отрезке которая является интегралом. Если то можно выбрать и так, чтобы и «скалярное» произведение Если то из (7.4) при вытекает (7.3) при

Чтобы доказать (7.4), положим полином степени удовлетворяющий условию при

Очевидно, существует постоянная такая, что

при Так как функция обращается в нуль в точках отсюда вытекает, что существует такое значение при котором Поэтому при

Интегрируя по отрезку получаем неравенство

теперь с помощью индукции легко показать, что из (7.6) следует неравенство

Поскольку многочлен степени Поэтому из (7.5), (7.7) и равенства вытекает (7.4).

Лемма 7.2. Пусть и пусть положительное целое число, такое, что

Пусть решение системы (0.3). Тогда при

где

Замечание. Заметим, что можно выбрать произвольным образом, а (и потому не зависит от если

Доказательство. Пусть Тогда из (7.8) вытекает существование такого целого числа что

В силу (0.3), Если подставить в это неравенство соотношение (7.3) и проинтегрировать полученное выражение по то мы получим в силу (7.11), что

Поэтому, если то из (7.3) вытекает оценка

Таким образом, неравенство (7.9) следует из (7.2), (7.8) и соответствующего неравенства (0.5), где заменено на

Следствие 7.1. Если выполнены условия леммы 7.2, то

Это неравенство вытекает из (7.9) после интегрирования по отрезку

Следствие 7.2. Предположим, что выполнены условия леммы 7.2, функции принадлежат решение системы (0.3) при Предположим, что существуют пределы принадлежащие Тогда функция (возможно, исправленная на множестве нулевой меры) является решением системы (0.3) при равномерно на ограниченных подмножествах из при

Это утверждение вытекает из (7.13) после подстановки при

Теорема 7.1. Пусть при и выполнены соотношения

Предположим, пара допустима для системы (0.3), для каждой функции система (0.3) имеет решение Обозначим через множество начальных значений решений системы (0.4). Тогда индуцирует полную дихотомию для Если, кроме того, пространство квазиполно есть решение системы (0.4), то при

Условия (7.14) на выполняются, если, например, Заметим, что в (7.14) не участвует значение Условие допустимости пары для системы (0.3) означает, что пара является -допустимой для оператора определенного в начале этого параграфа. Это условие не эквивалентно условию допустимости пары для соответствующей линейной системы (0.1), поскольку мы рассматриваем не произвольные векторы из а только те векторы которые имеют вид

Доказательство. Теорема будет доказана, если мы установим, что выполнены все условия теоремы (5.1). Условие вытекает из (0.5) ввиду отождествления (0.1) с (0.3); вытекает из следствия 7.2; условие входит в число предположений этой теоремы; условие тривиально, поскольку пространство конечномерно.

Для того чтобы проверить выберем и некоторые решения и системы (0.4). Пусть неотрицательная функция на класса которая равна нулю вне отрезка [0, 1], причем

Пусть и

Тогда при

где биномиальный коэффициент Отсюда следует, что решение системы (0.3), правая часть которой равна

тождественный оператор.

Поскольку При ясно, что при при если Поэтому, если то Существует такая постоянная что при когда Следовательно, если то

Таким образом, для произвольных выполнено условие если

В силу (7.14) функция принадлежит В и

Из леммы 7.2 с и сопровождающего ее замечания вытекает, что условие выполняется при если Наконец, условие следует из (0.5) и (7.2), поскольку Итак, теорема 7.1 вытекает из теоремы 5.1.

Теоремы 6.3 и 7.1 имеют интересное следствие. Предположим, что система первого порядка (0.2) получена стандартным путем [как описано выше, перед формулой (7.2)] из (0.4). Тогда можно рассматривать систему (0.1), не предполагая, что и мы получим из теоремы 6.3 такой результат:

Следствие [7.3. Пусть выполнены условия теоремы 7.1. Пара а следовательно, и пара допустимы для системы (0.3) тогда и только тогда, когда они допустимы для системы (0.1).

Например, если и если некоторая пара допустима для системы (0.3), то пара допустима для системы (0.1) [и для (0.3)].

Теорема 7.2. Пусть выполнены условия теоремы 7.1. Предположим, кроме того, что

или что

равномерно для больших при Тогда индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для

Если при для то условие (7.23) выполняется, поскольку

Доказательство. Это утверждение следует из теоремы 5.2. Достаточно проверить аналог условия (5.6). В силу (7.21), условие (5.6) вытекает из (7.14), (7.22) или из (7.23).

Упражнение 7.1. Рассмотрим вещественные уравнения второго порядка

при Пусть (банахово) пространство вещественных чисел; произведение пространств с нормой если произведение пространств с нормой если При обозначим через линейное многообразие вектор-функций при где решение уравнения (7.25). Пусть «начальным значением» вектор-функции служит вектор Предположим, что вещественная функция в такая, что

Пусть вещественная функция из и существует постоянная С, такая, что

Наконец, предположим, что пара допустима для уравнения (7.24), т. е. если то уравнение (7.24) имеет решение и Обозначим через многообразие начальных условий для -решений уравнения (7.25). Размерность этого многообразия может быть равна 0, 1 или Тогда при достаточно малых пространство индуцирует полную дихотомию для Если, кроме того, пространство квазиполно решение уравнения (7.25), то при Если в дополнение к предположениям части (а) либо выполнены условия

либо

равномерно для больших при то индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для если достаточно мало.