§ 4. Подготовительные леммы

Используя теоремы § 3 для асимптотического интегрирования системы

где постоянная матрица и вектор «мал», например

а функция «мала» при больших мы получим для них хорошую иллюстрацию. В этом параграфе будут сформулированы основные леммы 4.1, 4.2, 4.3. Их доказательства приводятся в §§ 5—7 и используют результаты § 3. Теоремы об асимптотическом интегрировании системы (4.1) сформулированы в §§ 8, 11, 13 и 16 и выводятся соответственно из леммы 4.1 в §§ 9—10, из лемм 4.1, 4.2 в § 12 и из лемм 4.1-4.3 в §§ 14—15.

Если имеет хотя бы два собственных значения с различными вещественными частями, то после линейной замены переменных с постоянными коэффициентами можно предположить, что где и вещественные части собственных значений матриц удовлетворяют неравенствам

для некоторого числа Мы можем также предполагать, что имеют нормальную форму (см. так что для произвольного фиксированного и некоторого с,

имеют место неравенства

В соответствии с этим запишем (4.1) в виде

где Начальные условия будут иметь следующий вид:

Если неравенство (4.2) справедливо, то из (4.5) и (4.6) мы получаем, что

Иногда удобно представить в виде так что где матрицы таковы, что для их собственных значений выполняются оценки

и справедливо неравенство (4.4). В этом случае будет предполагаться, что выполнены оценки

Будет изучаться задача Коши для системы

где

Если (4.2) имеет место, из (4.10) и (4.11) вытекает, что

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений: вещественные или комплексные векторы в евклидовом пространстве, или или векторы из произведения соответствующих пространств. Первая лемма относится к задаче (4.6), (4.7); две последние —к задаче (4.11), (4.12).

Лемма 4.1. Пусть — некоторые постоянные, а постоянные матрицы, удовлетворяющие условиям (4.4) и (4.5). Предположим, что вектор-функция непрерывна при удовлетворяет (4.2), где

функция непрерывна при и интеграл

сходится, что для некоторого

Пусть Тогда существует хотя бы одно значение такое, что задача (4.6), (4.7) имеет решение для которого

на его правом максимальном интервале существования частности, правая часть (4.17) меньше, чел при то

Последнее утверждение вытекает из следствия 1.3.1. Остальная часть леммы 4.1 будет доказана в § 5.

Лемма 4.2. Пусть с — некоторые постоянные, постоянные матрицы, удовлетворяющие условиям Предположим, что вектор-функция непрерывна при удовлетворяет (4.2). Пусть функция непрерывна при интегралы

сходятся и существует такое число что

Пусть . Тогда существует по крайней мере одно такое что задача Коши (4.11), (4.12) имеет решение для которого

на правом максимальном интервале его существования В частности, если правая часть (4.21) меньше при то

При применении лемм 4.1 и 4.2 удобно знать, когда

Это имеет место, если

или, в более общем случае, если

Из неравенства Гёльдера следует, что достаточным условием для (4.24) (а потому и для является следующее:

Следующее упражнение фактически показывает, что если то условие (4.24) необходимо и достаточно для того чтобы было справедливым (4.22).

Упражнение 4.1. Пусть функция непрерывна при Покажите, что из (4.24) вытекает (4.22). Это можно вывести из следующих оценок:

где через обозначается верхняя грань в (4.24). (b) Обратно, покажите, что если или при то выполняется (4.24).

Упражнение 4.2. Пусть такие же, как в упр. 4.1, и пусть (4.25) справедливо при некотором Покажите, что Выведите, что

Упражнение 4.3. Покажите, что лемма 4.2 остается справедливой, если непрерывные функции от определенные при и удовлетворяющие (4.4), (4.10),

а (4.18) заменено равенствами

причем предполагается, что последний интеграл сходится и для некоторого справедливо (4.19).

Лемма 4.3. Пусть выполнены условия леммы 4.2 и, кроме того, функция удовлетворяет условию (4.24) (так что (4.22) выполняется); пусть в неравенствах и справедливы неравенства

где такая непрерывная при функция,

пусть, наконец,

Тогда при справедливо утверждение леммы 4.2, причем

существует и Кроме того, существуют для каждого определена положительная постоянная такая, то заданные векторы и то существуют для которых задача Коши имеет решение при удовлетворяющее (Если , то можно взять равным )

Замечание 1. Из доказательства этой леммы будет видно, что существует такая постоянная С, зависящая только от значения по что для указанного решения выполняются оценки

где и может равняться или

Замечание 2. В доказательстве первой части леммы 4.3 неравенства (4.13) с могут и не выполняться для всех В самом деле, в силу (4.21) в доказательстве участвуют только такие у, для которых и потому

в силу (4.20), где

Аналогично, если имеет место неравенство (4.30), то можно не требовать выполнения неравенств (4.13) и (4.26). Утверждение во второй части леммы 4.3 сохраняется, если заменить (4.30) неравенствами

Эти утверждения позволяют заменить предположения (4.2) и (4.26), при которых выводятся неравенства (4.13), условием другого типа: для всякой пары чисел удовлетворяющих неравенствам существует непрерывная функция определенная при и такая, что

Тогда из (4.33) вытекает неравенство

которое аналогично (4.2) с

Заметим, что если при таком выборе функции положить то из (4.31) видно, что при Поэтому, если то первая (соответственно последняя) часть леммы 4.3 остается в силе.

Случай можно свести к случаю заменой переменных (если необходимо предполагать, что определена для и всех

Следствие 4.1. Пусть выполнены все условия леммы 4.2. Предположим, что удовлетворяет что справедливо и выполняется неравенство вида

где — непрерывная при функция, удовлетворяющая (4.27). Если предположим, что (так что

функция определена при и всех Тогда утверждение леммы 4.3 останется в силе, если заменить (4.29) условием

Упражнение 4.4. Докажите следствие 4.1.

Условие можно заменить предположением о том, что диагональная матрица (или имеет простые элементарные делители) и что все ее собственные значения имеют одинаковую вещественную часть

Следствие 4.2. Пусть выполнены условия следствия 4.1, но где вещественные числа, вместо (4.37) выполняется неравенство

Тогда утверждение леммы 4.3 останется в силе, если заменить (4.29) условиями

Заметим, что последнее утверждение в (4.40) означает, что компонента вектора удовлетворяет условию

Упражнение 4.5. Сведите следствие 4.2 к лемме 4.3 заменой переменных определяемой равенствами

Упражнение 4.6. Пусть постоянная матрица с собственными значениями причем простые собственные значения с при где 1 Пусть собственных значений имеют положительные вещественные части, собственных значений — отрицательные вещественные части, где Пусть матрица непрерывна при причем при а элементы имеют ограниченную вариацию при (т. е. Например, если непрерывно дифференцируема, пусть при

При больших матрица имеет простых непрерывных собственных значений при см. упр. IV.9.1. (а) Покажите, что линейная система имеет линейно независимых экспоненциально убывающих при решений. (b) Если при то система имеет ограниченных при

решений, (с) Если то существует вектор с такой, что имеет решение вида при Если интегралы являются ограниченными при то существуют линейно независимых векторов для которых система имеет решение вида

О приложениях следствий из леммы 4.3 см. упражнение в Другие приложения и обобщения леммы 4.3 и ее следствий даны в §§ 13—16.

Упражнение IX.5.4 является аналогом леммы 4.1 для системы разностных уравнений. В упр. 4.8 и 4.9 сформулированы аналоги лемм 4.2 и 4.3.

Упражнение 4.7. Пусть пространство переменных При пусть отображение в себя и Пусть компакт и замкнутые множества в такие, что непусто при Тогда существует такая точка что при

Упражнение 4.8. Пусть — квадратные матрицы, удовлетворяющие неравенствам

где При пусть непрерывные вектор-функции, определенные для всех равные нулю при больших Пусть где отображение

(а) Пусть Покажите, что если и

то существует такое что и

(b) Покажите, что если и

при , то из (4.44) вытекает, что при

Упражнение 4.9. Пусть матрицы, удовлетворяющие неравенствам

Пусть такие же, как в упр. 4.8, с в неравенстве (4.43). Пусть о где определено в (4.42) с Предположим, что ряд сходится и

(a) Пусть такой вектор, что для справедливы неравенства (4.44). Покажите, что существует

(b) Пусть, кроме того, Пусть векторы заданы и Покажите, что существует такой вектор что для выполняются условия (4.44) и (4.45).

(c) Сформулируйте аналоги утверждений (а) и (b) в случае, когда матрица В в (4.42) равна (а не как выше).