§ 8. Случай «лямбда» равна 0

Если то дифференциальное уравнение (5.1) принимает вид

а краевые условия остаются теми же:

Теорема 8.1. Если то задача (8.1) — (8.3) имеет одно и только одно решение при каждом Если то существует такое число , что задача (8.1) — (8.3) имеет решение в том и только в том случае, когда а при этом оно единственно. Как при так и при указанное

решение удовлетворяет неравенству

Заметим, что единственность была доказана в § 6 в ходе доказательства теоремы 6.1.

Доказательство. Доказательство будет разбито на этапы но иногда оно будет лишь намечено ввиду полной аналогии с рассуждениями, использованными при доказательстве теорем 6.1 и 7.1.

(a) Если и решение уравнения (8.1), то либо либо либо при всех для которых определена функция и В самом деле, (8.1) можно рассматривать как линейное уравнение первого порядка относительно поэтому либо либо

(b) Обозначим через решение уравнения (8.1), удовлетворяющее начальным условиям

Тогда существует при существует предел

Так как для всех для которых существует, и то ясно, что найдется такое что определено при Кроме того, при всех для которых решение существует. Следовательно, при

откуда вытекает утверждение (b).

(c) Предел непрерывно зависит от Ясно, что непрерывно зависят от у. Следовательно, в силу равномерно при на замкнутых ограниченных отрезках, принадлежащих полупрямой Поэтому является непрерывной функцией от у.

(d) Предел является возрастающей функцией от Это вытекает из рассуждения, с помощью которого доказывалась единственность в теореме 6.1.

(e) Задача (8.1) -(8.3) имеет (единственное) решение при В самом деле, если и решение уравнения (8.1) и 0, то функция тоже является решением уравнения (8.1) (это легко проверить непосредственно). При следовательно, при так что Поскольку существует единственное значение при котором

и функция будет искомым решением задачи (8.1) — (8.3), соответствующим

Предельное значение стремится к при В самом деле, обозначим на время через чтобы подчеркнуть зависимость от и Как это видно из рассуждения, проведенного при доказательстве в теореме не возрастает с ростом и не убывает с ростом и Как и в доказательстве утверждения имеем при Поэтому при Этим доказано утверждение

Если при фиксированном задача имеет решение когда то она имеет решение и при

Рассуждения, использованные при доказательстве утверждения (d) в теореме 7.1, показывают, что из существования решения при вытекает существование решения уравнения (8.1) с где Поэтому из утверждений вытекает утверждение

Если то задача не имеет решения. Посмотрим, как задача сводится к задаче при Дифференциальное уравнение (6.8) при имеет вид

причем Пусть — так что Тогда так как В частности, и потому Следовательно, функция принимает значение 1 на полуинтервале каково бы ни было

Если то задача имеет решение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (8.9). Пусть решение этого уравнения, соответствующее решению уравнения (8.1). Через обозначим решение уравнения (8.9), соответствующее решению задачи при см. п. (е).

Пусть то единственное значение при котором причем Положим Пусть см. рис. 5. Заметим, что если то и потому В частности, при малых мы имеем для Для этих малых найдется такое что где

Следовательно, как видно из рассуждений, использованных при доказательстве утверждения теоремы при Поэтому

Утверждение (i) о существовании решения при фиксированном вытекает из При любых при фиксированном оно является следствием утверждения (g).

Рис. 5.

Тем самым доказано утверждение (i) и завершено доказательство теоремы 8.1.