§ 12. Первые интегралы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

в которой определена и непрерывна в открытом множестве Вещественная функция и определенная в открытом подмножестве называется первым интегралом системы если она постоянна вдоль решений системы (12.1), т. е. если есть произвольное решение системы (12.1) в -интервале такое, что при то функция не зависит от

Лемма 12.1. Пусть и некоторая функция класса заданная в открытом множестве а Функция и будет первым интегралом системы (12.1) в том и только том случае, когда она является решением следующего линейного уравнения в частных производных:

Действительно, уравнение (12.2) эквивалентно соотношению для всех тех решений системы (12.1), для которых

Теорема Пусть функции класса суть первые интегралы системы (12.1), заданные

в открытом подмножестве и такие, что якобиан где отличен от нуля. Пусть и пусть функция является обратной по отношению к для близких к Тогда при фиксированном функция является решением системы (12.1). Далее, если и функция принадлежит классу для близких к то является первым интегралом системы (12.1) в том и только том случае, когда для близких к существует функция класса такая, что и при близких к

Доказательство. Так как функции являются первыми интегралами системы (12.1), то из (12.2) следует, что

Значит, Поскольку функция является обратной по отношению к то ясно, что и потому с фиксированным является решением системы (12.1). Первая часть теоремы доказана.

Если принадлежит классу то из (12.2) сразу же следует, что функция и является первым интегралом. Обратно, пусть первый интеграл для близких к Положим Ясно, что и Значит, достаточно проверить, что не зависит от Но а это выражение равно нулю в силу (12.1) и (12.2). Теорема доказана.

Теорема 12.2. Пусть функция непрерывна в открытом множестве Тогда для того, чтобы система (12.1) имела первых интегралов класса определенных в окрестности заранее заданной точки и удовлетворяющих в ней условию необходимо и достаточно, чтобы задача Коши имела единственное решение принадлежащее классу по всем своим аргументам.

Доказательство. Если существует и принадлежит классу то положим для значений близких к при фиксированном Тогда каждая компонента вектора будет первым интегралом, так как равна постоянной Кроме того, матрица является в точке единичной и поэтому невырожденной для близких к

Обратно, если компоненты вектора суть первые интегралы класса определенные в окрестности точки

обратная к функция, то положим Тогда будет решением задачи Коши принадлежащим классу При фиксированном о имеем Поэтому из теоремы 6.1 следует, что решение задачи единственно и принадлежит классу

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)