§ 13. Каскады на замкнутой кривой

Из замечаний, сделанных после формулировки теоремы 12. следует, что тор — единственное двумерное многообразие на котором возможны потоки, для которых само является минимальным множеством. Поэтому вполне естественно заняться изучением потоков на торе. Этот параграф является подготовкой для такого изучения и посвящен «каскадам» на жордановой кривой или, что эквивалентно, топологическим отображениям на себя.

Пусть жорданова кривая, гомеоморфизм на себя, сохраняющий ориентацию. Дискретную группу гомеоморфизмов кривой на себя мы называем каскадом на Как и в § 11, можно определить орбиту проходящую через точку полуорбиту множество состоящее из -предельных точек полуорбиты инвариантные множества, минимальные множества и т. д.

Точки на кривой можно считать параметризованными, например формулой где , при этом точки соответствующие значениям и совпадают. Или, что более удобно, можно рассматривать как прямую — на которой отождествляются любые две точки для которых разность есть целое число. Тогда отображение можно считать вещественной функцией обладающей следующими свойствами:

1) непрерывна и строго возрастает

так что имеет период 1. Тот факт, что не убывает, является следствием сохранения ориентации при отображении 5. Условие строгого возрастания и условие (2) вытекают из того, что отображение является гомеоморфизмом. Обратно, любая функция обладающая свойствами (1) и (2), индуцирует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм кривой на себя.

Пусть и пусть есть функция, обратная к Пусть аналогично, так соответствует отображению 5? для и каждая функция обладает свойствами 1) и 2).

Лемма 13.1. Пусть функция непрерывна на и обладает свойствами (1) и (2). Тогда существует такое число а, что

далее, если определены соотношениями на так что

то

Число называется числом вращения отображения или каскада на

Доказательство, (а) Непрерывная функция

имеет период 1, в силу свойства (2), и удовлетворяет неравенству

где Действительно, пусть (13.4) не верно. Тогда для некоторых точек Поскольку функция периодическая, то можно считать, что Тогда, в силу (13.3), так что Но это противоречит тому, что строго возрастает.

(b) Пусть некоторое целое число. Тогда из (13.3) видно, что

Отсюда

в частности, для

Если где то сумма этих соотношений для дает

По определению из последнего соотношения получаем, что

Следовательно,

поскольку при согласно (13.4), то нижний и верхний пределы в (13.5) равны, скажем а. Значит, при равномерно относительно у. Тем самым соотношение (13.1) в случае, когда доказано.

Согласно (13.4) и (13.5), Значит, если то неравенства (13.2) справедливы для

Заметим, что где так что для неравенства (13.2) справедливы с Лемма полностью доказана.

Лемма 13.2. Число вращения а отображения является топологическим инвариантом, т. е. оно не зависит от параметризации кривой

Доказательство. Пусть определяется функцией Изменение параметра на сохраняющее ориентацию, задается функцией , удовлетворяющей аналогам условий 1) и 2). Если то в -параметризации отображение становится равным где удовлетворяет условиям 1) и 2). Так как то отсюда следует, что где согласно (13.2). Пусть так что имеет период 1. Тогда при имеем

Лемма доказана.

Теорема 13.1. Пусть — каскад на жордановой кривой Число вращения а отображения рационально тогда и только тогда, когда для некоторого целого отображение имеет неподвижную точку

Доказательство. Пусть определяется функцией Предположим, что для некоторого т. е. существует точка и целое число такие, что Тогда

Следовательно, а — рациональное число.

Обратно, пусть а рационально и равно где Тогда будет принимать, согласно (13.2), как неотрицательные, так и неположительные значения. Значит, существует такое что т. е. для точки соответствующей точке Лемма доказана.

Лемма 13.3. Пусть имеет иррациональное число вращения а, точка фиксирована, и -фиксированные целые числа и одна из замкнутых дуг на ограниченных точками и Тогда существует такое целое число О, что где Значит, если то найдется такое, что

Доказательство. Пусть для определенности — ориентированная дуга кривой идущая от у и к и пусть

Значит, или в соответствии с тем, будет ли или так что в том и только в том случае, когда Поэтому достаточно показать, что если достаточно велико, то Очевидно, что дуги в правой части соотношения (13.6) имеют общую концевую точку Значит, если для то концевые точки при стремятся монотонно к точке Но тогда в то время как по теореме 13.1 не должно иметь неподвижных точек. Это противоречие показывает, что при больших кривая

Значит, если то или для некоторого Лемма доказана.

Если Для некоторого то орбита состоит из точек Если же ни при каком не имеет неподвижной точки, то эта ситуация рассматривается в следующей теореме.

Теорема 13.2. Пусть каскад на жордановой кривой имеющий иррациональное число вращения а. Пусть для символом обозначено множество -предельных точек полуорбиты Тогда не зависит от и потому является единственным минимальным множеством потока Кроме того, или или есть совершенное нигде не плотное множество на

Если то поток называется эргодическим.

Замечание. Поскольку единственное минимальное множество потока так же как и потока то ясно, что поток будет эргодическим тогда и только тогда, когда поток эргодический. Значит, множество является множеством предельных точек или любой полуорбиты или любой полуорбиты или любой орбиты

Доказательство. Рассмотрим полуорбиту и множество ее -предельных точек. Пусть — любая точка из Так как найдутся точки сколь угодно близкие к и меньшая из дуг ограниченная этими точками, содержит точку при некотором то отсюда следует, что т. е. Поменяв ролями получим, что множество не зависит от

Множество замкнуто и инвариантно. Если то у является предельной точкой орбиты а значит, и множества Поэтому множество совершенно. Ясно, что является минимальным. Значит, или или нигде не плотно; см. упр. Теорема доказана.

Лемма 13.4. Пусть имеет иррациональное число вращения а. Для произвольно заданного функция где является возрастающей на последовательности чисел

Доказательство. Нужно показать, что

Применяя к первому неравенству (13.7), получаем

Так как не может равняться целому числу, то из неравенств и (13.2) следует, что Тем самым лемма доказана.

Для следующей теоремы нам потребуется такая простая

Лемма 13.5 (Кронекер). Пусть а — иррациональное число и каскад на жордановой кривой такой, что соответствующая ему функция Тогда каскад эргодический (т. е.

В силу замечания, сделанного после теоремы 13.2, это утверждение эквивалентно тому, что множество точек где плотно на прямой — Другими словами, если обозначает наибольшее целое число, не превосходящее есть дробная часть числа , то лемма эквивалентна следующему утверждению: множество точек где плотно на отрезке .

Упражнение 13.1. Докажите лемму 13.5.

Теорема 13.3. Пусть каскад на жордановой кривой имеющий иррациональное число вращения а. Каскад будет эргодическим (т. е. в том и только в том случае, когда топологически эквивалентно «вращению», т. е. в том и только в том случае, когда существует сохраняющая ориентацию замена параметра такая, что

Доказательство. Пусть существует удовлетворяющее условию (13.8). Тогда минимальное множество отображения по теореме 13.2 совпадает с множеством предельных точек последовательности на Так как число а иррациональное, то это минимальное множество Значит, минимальное множество для 5 есть

Обратно, пусть есть минимальное множество для Пусть как в лемме 13.4. Тогда на последовательности которая плотна на прямой — определена возрастающая функция Эта функция непрерывна, так как множество ее значений плотно в а потому «существует лишь единственное непрерывное продолжение до возрастающей функции на Кроме того, Значит, определяет замену параметра на

Из равенства следует, что если Так как множество точек плотно на прямой — то для всех у. Следовательно, Лемма доказана.

Упражнение 13.2. Пусть окружность и произвольное совершенное нигде не плотное множество на Тогда существует

сохраняющий ориентацию гомеоморфизм окружности на себя, имеющий (иррациональное число вращения а и) в качестве своего минимального множества; см. Данжуа [1].

Лемма 12.1, использовавшаяся нами при доказательстве теоремы 12.1, имеет такое следствие.

Теорема 13.4 Пусть каскад на имеющий иррациональное число вращения а. Пусть определяет функцию Предположим к тому же, что принадлежат классу Тогда поток эргодический (т. е. ).

Как видно из следующего упражнения, это утверждение можно немного усилить.

Упражнение Ослабим условие следующим образом: является на отрезке Функцией ограниченной вариации». Тогда каскад 5 эргодический (Данжуа; см. ван Кампен [1]1)). (b) Если отбросить условие является на отрезке функцией ограниченной вариации», то утверждение неверно. См. Данжуа [11.