§ 6. Приложения к системам первого порядка

Как мы видели в § 3 и 4, условия выполняются для оператора определенного по системе (0.1) в соответствии с замечанием из § 3, если положить Поэтому из теорем вытекает

Теорема 6.1. Пусть -матрица, элементами которой являются локально интегрируемые (вещественные или комплексные) функции при 10. Пусть банаховы пространства из и пара допустима для системы (0.1) в том смысле, что для каждой функции система (0.1) имеет решение Обозначим через множество решений системы (0.2), а через множество начальных значений для решений Тогда индуцирует частичную дихотомию для где

произвольное фиксированное число. (ii) Если, кроме того, пространство квазиполно и но то для каждого

(iii) выполнено (4.14), то индуцирует экспоненциальную дихотомию для причем показатели могут быть выбраны независимо от Если или то индуцирует полную дихотомию для

Упражнение 6.1. Сформулируйте утверждения, вытекающие из следствия 4.2, для предложений теоремы 6.1.

Следующую теорему, за исключением условия (с) полной дихотомии (см. (1.9)), нетрудно получить из теоремы 6.1 в силу замечания, относящегося к (5.3) и (5.4). С другой стороны, эту теорему можно вывести из теорем 5.1 и 5.2.

Теорема 6.2. Пусть матрица, состоящая из локально интегрируемых вещественных или комплексных функций, удовлетворяющих условию (5.3) или (5.4). Пусть банаховы пространства из и пара допустима для системы (0.1), а такие же, как в теореме 6.1. Тогда индуцирует полную дихотомию для Если, кроме того, квазиполно и но то

Наконец, если

то индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для

Доказательство. Достаточно проверить условия теоремы 5.1 и (или) теоремы 5.2 для оператора определенного по системе (0.1), с и ).

Условия были проверены раньше. Как мы уже видели, условие выполняется для всех при с произвольной функцией Полагая в замечании 2, предшествующем теореме 4.1, мы получаем, что условие выполняется при всех (поскольку и

независимо от Условие тривиально, поскольку В силу замечания, сделанного перед теоремой 5.1, из (5.3) или (5.4) вытекает условие Поэтому все предположения

ремы 5.1 выполнены справедливы утверждения» касающиеся полной дихотомии и (6.2).

Для того чтобы применить теорему 5.2, следует проверить условие (5.6), имеющее такой вид:

Но, как легко видеть, оно эквивалентно (6.3); см., например, начало доказательства теоремы 4.2. Этим завершается доказательство теоремы 6.2.

В следующей теореме содержится основной результат о полных дихотомиях для решений системы (0.2) и о допустимости для системы (0.1). Для краткости через и Уооо обозначим подпространство в когда соответственно, т. е. это множества начальных значений Для решений системы (0.2) из классов или соответственно.

Теорема 6.3. Пусть матрица, элементами которой являются локально интегрируемые (вещественные или комплексные) функции при и множество решений системы (0.2). Подпространство пространства индуцирующее полную дихотомию для существует в том и только в том случае, когда пара или, что эквивалентно, пара является допустимой для системы (0.1). В этом случае Уооо и как так и Уооо индуцируют полные дихотомии для

Упражнение 6.2. Доказательство теоремы 6.3 будет опираться на лемму 2.3. Докажите утверждения теоремы 6.3, не относящиеся к пространству не используя эту лемму (аналогичный результат справедлив даже тогда, когда пространство бесконечномерно, а лемма 2.3 не имеет места).

Доказательство. Если пара а следовательно и допустима для системы (0.1), то индуцируют полные дихотомии для в силу утверждения (iv) теоремы 6.1.

Обратно, если существует подпространство индуцирующее полную дихотомию для то индуцирует полную дихотомию для в силу следствия 2.2. Поэтому для завершения доказательства достаточно показать, что если индуцирует полную дихотомию для то пара или пара допустима для системы (0.1). Поэтому доказательство этого утверждения опирается на более легкую часть (необходимость) теоремы 2.1. Пусть подпространство в дополнительное к так что есть прямая сумма (например, если евклидово пространство, то ортогональное дополнение к Пусть о — проекция пространства на при которой

переходит в нуль, и есть проекция на обращающая в нуль подпространство . Обозначим через фундаментальную матрицу системы (0.2), причем и через матричную функцию

Тогда по теореме 2.1 найдется постоянная такая, что

Пусть произвольный элемент из Для того чтобы доказать существование у системы (0.1) решения из положим

Этот интеграл абсолютно сходится в силу (6.5 и того факта, что и определяет решение системы (0.1). При этом в частности,

Покажем, что В силу (6.4) и (6.5)

Последний интеграл стремится к при При фиксированном решение системы (0.2) стремится к нулю при поскольку его начальное значение Кроме того,

Поэтому теорема Лебега о возможности почленного интегрирования (при наличии интегрируемой мажоранты) показывает, что первый интеграл также стремится к нулю при Следовательно, Теорема доказана.

Основным результатом относительно полной экспоненциальной дихотомии является следующее утверждение, аналогичное теореме 6.3.

Теорема 6.4. Пусть матрица, элементами которой служат локально интегрируемые (вещественные или комплексные) функции при 0, и множество решений системы (0.2). Подпространство пространства индуцирующее полную экспоненциальную дихотомию для существует в том и только в том случае, когда пары при и при некоторых допустимы для

системы (0.1). В этом случае и пары и при любых являются допустимыми.

Доказательство. Если пары и при некоторых допустимы для системы (0.1), то индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для в силу предложения (iv) теоремы 6.1 и теоремы 4.4.

Обратно, пусть подпространство индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для Пусть подпространство в дополнительное к и матрица Грина (6.4), определенная в терминах проекций подпространства на переводящих в нуль соответственно Тогда в силу теоремы 2.1

с некоторыми постоянными Пусть где Тогда интеграл в (6.6) абсолютно сходится и определяет решение системы (0.1). Поэтому остается только доказать, что при

Рассмотрим вначале случай Как и при доказательстве предыдущей теоремы, легко видеть, что Далее, поскольку

Поэтому при Следовательно, если то так как

Рассмотрим теперь случай Пусть Применяя несколько раз неравенство Гельдера, получаем, что не превосходит

Поэтому величина конечна и не превосходит

см. (6.8). Следовательно, при Поскольку мажоранта остается конечной как при так и при отсюда вытекает, что при Теорема доказана.

Так как условие (6.7) необходимо для того, чтобы индуцировало полную экспоненциальную дихотомию, отсюда можно заключить, что в этом случае допустимы многие другие пары Пример утверждения такого рода дает следующее

Упражнение 6.3. Пусть матрица, элементами которой являются локально интегрируемые при функции, и множество решений системы (0.2). Пусть такие банаховы пространства из что

Пусть в существует подпространство индуцирующее полную экспоненциальную дихотомию для Тогда пара допустима для системы (0.1).