Глава II. Теоремы существования

§ 1. Теорема Пикара — Линделёфа

В этой главе будут доказаны теоремы существования различного типа. Одной из простейших и полезных является следующая

Теорема 1.1. Пусть функция непрерывна в параллелепипеде и удовлетворяет условию Липшица по у. Пусть является верхней границей для на Тогда задача Коши

имеет на отрезке единственное решение

Ясно, что соответствующая теорема существования и единственности верна и в том случае, когда параллелепипед заменен областью Из этих «правой» и «левой» теорем существования ясно также, что задача (1.1) имеет решение и в области причем для это решение единственно, так как в точке происходит гладкое смыкание решений справа и слева.

Выбор в теореме 1.1 является вполне естественным. Действительно, с одной стороны, является необходимым требование а а. С другой стороны, требование а обусловлено тем, что если есть решение задачи (1.1) на отрезке то из условия следует, что а эта граница не превосходит только при

Замечание 1. В теореме 1.1 символ может обозначать любую норму в а не обязательно евклидову норму или норму (2.1).

Другое доказательство единственности см. в упр. II 1.1.1.

Доказательство методом последовательных приближений. Пусть Предположим, что определена на непрерывна и удовлетворяет неравенству Положим

Так как функция определена и непрерывна на то же самое верно и для Ясно также, что

Следовательно, все функции определены и непрерывны на Докажем по индукции, что

где обозначает постоянную Липшица для Ясно, что неравенство (1.30) верно. Предположим, что справедливы соотношения ( Из равенства (1.2) при получаем соотношение

которое по определению дает неравенство

Отсюда в силу (1.3) получаем

Тем самым доказано. Из следует, что ряд

равномерно сходится на Следовательно,

также равномерно. Так как равномерно непрерывна в то при функции равномерно стремятся на Поэтому в равенстве (1.2) можно перейти к пределу под знаком интеграла, и мы получим

Следовательно, функция из соотношения (1.4) является решением задачи (1.1). Докажем его единственность. Пусть какое-либо решение системы (1.1) на Тогда

Очевидной индукцией, использующей соотношение (1.2), получаем неравенство

Из (1.4) и (1.7) при следует, что т. е. Теорема полностью доказана.

Замечание 2. Так как то неравенство (1.7) дает оценку ошибки приближения:

Упражнение 1.1. Покажите, что если к условиям теоремы 1.1 добавлена еще аналитичность функции (т. е. для каждой точки существует окрестность, в которой представима как сходящийся степенной ряд по степеням то решение задачи Коши (1.1) является на аналитическим. Аналогичные теоремы справедливы и в том случае, когда и компоненты векторов могут быть комплекснозначными.

Упражнение 1.2. Если в теореме 1.1 начальное значение заменить некоторым близким значением то задача Коши будет иметь единственное решение на некотором отрезке не зависящем от Покажите, что удовлетворяет условию Липшица по для значений близких к