§ 11. Предельные циклы

Замечания последнего параграфа объясняют, почему при изучении решений системы (10.1) вблизи кривой вещественные части (нетривиальных) характеристических показателей решения играют ту же роль, какую играют вещественные части собственных значений матрицы при изучении решений системы вблизи

Теорема 11.1. Пусть принадлежит классу на некотором открытом множестве. Предположим, что система (10.1) обладает периодическим решением с (минимальным) периодом Пусть характеристических показателей решения имеют отрицательные вещественные части, меньшие, например, чем Тогда существуют такие и постоянная что для каждого из открытого множества где существует асимптотическая фаза такая, что решение задачи

удовлетворяет неравенству

В частности, предельный цикл, который асимптотически орбитально устойчив.

Доказательство. Как и прежде, положим В силу наших предположений после линейной замены переменных можно привести отображения (10.3) к виду

где при малых и обращается в нуль вместе с первыми производными при причем Поэтому, если норма достаточно мала, например то Отсюда следует, что значения определены при при

Так как задача Коши (11.1) имеет единственное решение, из теоремы V.2.1 вытекает, что если произвольно, то существует такое что при условии найдется

наименьшее положительное значение для которого существует при

Пусть Положимте при так что Очевидно, что влечет за собой при Поэтому существуют при и некоторая постоянная такая, что

Чтобы доказать это, заметим, что

Так как величина не превосходит при некоторой постоянной Следовательно, существует, удовлетворяющее (11.3) при Поскольку имеем

при некоторой постоянной и Следовательно, из ограниченности в окрестности следует, что в силу (11.3). Поэтому

Если заменить на мы получим, что

при Теорема доказана.

Теорема 11.2. Пусть на некотором открытом множестве и система (10.1) имеет периодическое решение с наименьшим периодом Решение определенное при больших и такое, что

для некоторого где существует тогда и только тогда, когда решение имеет хотя бы один характеристический показатель с отрицательной вещественной частью, (ii) Если решение имеет в точности характеристических показателей с отрицательными вещественными частями, то множество точек в окрестности лежащих на решениях системы (10.1) и удовлетворяющих (11.4) при некотором образует -мерное многообразие класса Если хотя бы один характеристический показатель имеет положительную вещественную часть, то решение не будет орбитально устойчивым, (iv) Если в условии характеристических показателей имеют

положительные вещественные части, то можно описать как множество точек близких к и лежащих на решениях для которых

и (или)

для некоторого достаточно малого

Из доказательства и результата упр. 5.1 будет видно, что предположения о принадлежности классу и соответствующие утверждения относительно 5 могут быть несколько ослаблены или, наоборот, усилены до аналитичности или принадлежности классу В случае (iv) существует, конечно, аналогичное -мерное многообразие, соответствующее — пересекающее 5 трансверсально вдоль и соответствующее -мерное многообразие называются устойчивым и неустойчивым многообразиями решения

Доказательство. Мы докажем лишь утверждения (ii) при Можно предполагать, что и что (10.8) выполняется. С помощью линейной замены переменных в плоскости [т. е. в подпространстве переменных можно привести преобразование определенное равенством (10.3), к виду (5.1), где при малых и их матрицы Якоби равны нулю при Здесь где сколь угодно мало. Пусть многообразие, существование которого утверждается в лемме 5.1. Тогда определены при экспоненциально при тогда и только тогда, когда

Если мало и то существует такая точка что где последняя координата есть нуль — вещественное число. Рассмотрим множество точек : Для которых

Читателю предоставляется проверка того, что подмножество точек лежащих в малой открытой окрестности кривой удовлетворяет утверждению теоремы.

Замечание. С помощью леммы 8.1 можно установить топологическую природу множества решений системы (10.1) вблизи когда вещественные части нетривиальных характеристических показателей решения не равны 0.

Упражнение 11.1. В предположениях теоремы пусть обозначает решение системы (10.1), удовлетворяющее (11.4) при некотором Докажите существование таких чисел для которых при

Теорема 11.3. Пусть вектор принадлежит классу на некотором открытом множестве и таков, что у системы существует периодическое решение с (наименьшим) периодом Положим

Если то решение не будет орбитально устойчивым. Если то решение экспоненциально асимптотически орбитально устойчиво.

Доказательство. Для произвольного из (10.5) следует, что

ср. с теоремой Отсюда

так что равно произведению При имеем при некотором а при можно предполагать, что и — Поэтому теорема 11.3 следует из теорем 11.1 и 11.2.

Упражнение 11.2. Пусть принадлежит классу на некотором односвязном открытом множестве Тогда система (10.1) не имеет периодических решений и не имеет решений определенных при — для которых существуют при такие, что