§ 11. Функции Ляпунова

Напомним, что если вещественная функция с непрерывными частными производными, то ее производная вдоль траекторий системы

задается скалярным произведением

Лемма 11.1. Пусть функция непрерывна на открытом жестве и такова, что решения системы (11.1) однозначно определяются своими начальными условиями. Пусть вещественная функция на такая, что на и ее производная удовлетворяют условиям

на Пусть решение системы (11.1) при 0. Тогда -предельные точки решения при 0, принадлежащие содержатся в множестве

Доказательство. Пусть при Тогда при при Допустим, что так что Пусть решение системы (11.1), удовлетворяющее условию Рассмотрим при где достаточно малое число. Тогда при

В силу теоремы V.2.1 о непрерывной зависимости решений от начальных условий величина мала при и больших Значит, мала при и больших В частности, при больших Но это противоречит условию при и показывает, что последствие 11.1. Пусть удовлетворяют предположениям леммы 11.1, где есть у-пространство, и пусть при Тогда все решения системы (11.1) с начальными значениями, заданными при существуют при и ограничены [в действительности, кривая принадлежит множеству при Если, кроме того, существует единственная точка где если состоит из одной точки то при и решение системы (11.1) асимптотически устойчиво в целом.

Упражнение 11.1. Докажите следствие 11.1.

Следствие 11.2. Пусть при всех Пусть вещественная постоянная положительно определенная эрмитова матрица, а матрица Якоби такова, что для всех и всех векторов Тогда решение системы (11.1) асимптотически устойчиво в целом в частности,

Доказательство. Пусть так что при при

При этом Покажем, что при Для этого заметим, что

поскольку и производная функция

по равна Следовательно,

где аргумент тот же, что и выше. Это показывает, что при Следствие доказано.

Упражнение 11.2. Пусть для всех у, и пусть для всех у и всех векторов где вещественная положительно определенная матрица. Пусть два различных решения системы (11.1), проходящих через точки ( и . Тогда существуют при и функция убывает при

Следствие 11.3. Пусть для всех при Пусть вещественная положительно определенная матрица, а матрица Якоби такова, что при Тогда и решение системы (11.1) асимптотически устойчиво в целом.

Упражнение 11.3. Докажите следствие 11.3, полагая

Условие при в следствии 11.3 может быть существенно ослаблено. Постоянная матрица может быть заменена в следствиях 11.2 и 11.3 некоторой матрицей Такие результаты будут рассматриваться в §§ 12, 13; см. следствие 12.1 и теорему 13.1.