§ 9. Асимптотическое поведение

В этом параграфе рассматривается асимптотическое поведение решений задачи (5.1) — (5.3) при Для этого используется асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если и решение уравнения (5.1), положим

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Дифференцируя (9.2), получаем

поскольку

Чтобы избавиться от среднего члена в левой части (9.2), положим

так что есть решение уравнения

где

см. (XI.1.9), (XI.1.10). Таким образом,

и, в силу (5.1),

Поскольку при существует такая постоянная С, что при больших

Кроме того, интеграл (абсолютно) сходится (поскольку при так что

если предположить, что

Легко проверить, что (9.8) действительно имеет место, так как после интегрирования по частям (интегрируя и дифференцируя мы имеем

в силу (5.1). Последний интеграл абсолютно сходится и при Поэтому (9.8) справедливо.

Следовательно, выполнены соотношения (9.7), и потому уравнение (9.5) имеет главное решение такое, что при

где с постоянная, в то время как для линейно независимых решений имеет место асимптотическое равенство

Из второго равенства в (9.6) и условия и следует, что

так что

где — постоянная. Поэтому соотношения (9.9), (9.10) означают, что

В силу (9.4) уравнение (9.2) имеет такое главное решение, что

в то время как линейно независимые решения удовлетворяют соотношениям

Рассматривая (9.3) как уравнение второго порядка относительно так же, как мы это сделали для (9.2), мы видим, что уравнение (9.3) имеет такие главные решения, что

а для линейно независимых решений выполнено соотношение

Если для функции (9.1) выполнено соотношение (9.11), то, поскольку и отсюда следует, что и потому

при Подставляя эти равенства в (9.11), (9.11), получаем

при где постоянные.

Если функция (9.1) удовлетворяет (9.12), то, поскольку справедливо соотношение При Поэтому при для всех Если подставить это

равенство в (9.12), (9.12) и предположить, что то при

где постоянная.

Теорема 9.1. Пусть решение задачи (5.1) — (5.3). Тогда существуют такие постоянные что при выполнены соотношения (9.13).

Доказательство. Если решение задано, то функция и удовлетворяет либо (9.11), (9.11), либо (9.12), (9.12). Если то (9.12) не может иметь места, так как в противном случае при а это невозможно. Поэтому справедливы равенства (9.11), а, как мы уже видели, этого достаточно для выполнения соотношений (9.13).

Теорема 9.2. Пусть где и функции, определенные в теореме 7.1. Пусть шение задачи (5.1) — (5.3). Существуют такие постоянные что соотношения (9.13) справедливы тогда и только тогда, когда ; для других решений и задачи (5.1) — (5.3) при справедливы асимптотические соотношения (9.14) (с некоторой постоянной

Доказательство, (а) Если решение задачи (7.1), (7.2) и то справедливы соотношения (9.13).

Используя обозначения из доказательства утверждения в § 7, сопоставим решению функцию по правилу (6.7). Пусть решение уравнения Вебера (7.16), для которого и при и при больших и. Пусть см. (7.14), (7.17).

Тогда при больших и имеем В самом деле, пусть при некотором большом Тогда при если функция соответствует решению задачи (7.1), (7.2) и с малым Но тогда, как и при доказательстве в § 7, отсюда следует, что для всех и что функция и является решением задачи (5.1) — (5.3). Но это противоречит основному свойству постоянной

Таким образом, при больших и и, следовательно, при больших и с некоторой постоянной Поскольку при и отсюда получаем, что функция и не может удовлетворять (9.14) и, значит, удовлетворяет (9.11). Отсюда следует (9.13).

(b) Задача (5.1) — (5.3) не может иметь двух различных решений, удовлетворяющих (9.13).

Допустим, что существуют два решения задачи (5.1) — (5.3), удовлетворяющие (9.13) и, например, Пусть решение уравнения (7.4), соответствующее по правилу (6.7) при Пусть функция, обратная к

Тогда функции удовлетворяют (7.6), и в силу предложения (d) из § 7 справедливы утверждения (7.9), (7.10). В силу при Ввиду (6.7) и асимптотического равенства при из последнего соотношения вытекает, что при Иначе говоря, поскольку при мы имеем при Поэтому так что когда [так как при

Функции удовлетворяют дифференциальному уравнению (6.14). Поэтому

Следовательно, при

В силу (7.10) функция является возрастающей, и потому существует такая постоянная что при близких к 1. При этом когда Следовательно, для близких к 1, так что функция возрастает, когда близко к 1. Поскольку в силу (7.10), мы получаем противоречие с тем фактом, что когда Этим доказаны утверждение (b) и теорема 9.2.