§ 5. Априорные оценки

Доказательства теорем существования решений граничных задач в последнем параграфе зависели от нахождения верхних границ решения и его производных. В этом параграфе мы рассмотрим более подробно вопрос об априорных оценках и их применениях. Основная задача, которую мы будем рассматривать, такова: заданы -мерная вектор-функция принадлежащая на некотором отрезке классу граница для и некоторая мажоранта для требуется оценить Для случая вещественных верен следующий результат.

Лемма 5.1. Пусть где есть положительная непрерывная функция, удовлетворяющая условию

Пусть Тогда существует число (зависящее только от и такое, что если -вещественная функция класса на где удовлетворяющая условиям

Доказательство. В силу (5.1) существует такое число что

Покажем, что это число и обладает требуемым свойством. (Поэтому вместо (5.1) достаточно было бы предположить, что существует удовлетворяющее

Пусть достигает своего максимума в точке Мы можем считать, что в противном случае можно заменить на Если то существует некоторая точка где В противном случае мы имели бы что противоречит неравенству Предположим, что и пусть есть ближайшая к точка, где Пусть для определенности Тогда для

Если второе неравенство в (5.2) умножить на то интегрирование по дает

Даже если не предполагать, что то в левой части этого неравенства все же возможна формальная замена переменной после которой мы получаем, что

см. лемму 1.4.1. Из (5.3) видно, что Значит, или или В любом случае Так как для то лемма тем самым доказана.

Лемма 5.1 неверна, если есть -мерный вектор, а абсолютные величины в (5.2) заменены нормами. Чтобы в этом убедиться, заметим, что функция где — постоянные, удовлетворяет условиям леммы 5.1. Пусть обозначает двумерный вектор Тогда Значит, при выполнены неравенства, аналогичные (5.2):

но такого числа что при любом не существует.

Основной результат, относящийся к вектор-функциям, содержится в следующей лемме:

Лемма 5.2. Пусть где есть положительная непрерывная функция, удовлетворяющая (5.1). Пусть неотрицательные постоянные. Тогда существует постоянная (зависящая только от и К), обладающая следующим свойством: если есть вектор-функция класса на где удовлетворяющая (5.4), и

то

Доказательство. Покажем сначала, что из одних только неравенств (5.5) можно вывести существование оценки для на любом отрезке Пусть ; тогда

согласно (5.5), имеем

Это неравенство и аналог равенства (5.6), в котором заменено на дают

отсюда

Аналогично для соотношение

приводит к неравенству

Функция определенная соотношениями

является непрерывной и невозрастающей функцией от (это можно проверить вычислением производной Если то, полагая в (5.7), находим, что

Если то мы получаем (5.10) при Аналогично из (5.8) следует, что

Складывая (5.10) и (5.11) при получаем

Из предположений (5.4) и (5.10), (5.11) вытекает, что

где знак берется в соответствии с тем, будет ли или 2. Пусть функция определена равенством

Тогда по лемме 1.4.1

где интеграл берется по -интервалу с концевыми точками В силу (5.13) подинтегральное выражение мажорируется функцией

Отсюда

Поскольку функция возрастает, из (5.12) получаем оценку где

а - функция, обратная к Если то точка содержится в интервале длины из Только что проведенные рассуждения показывают, что может быть заменено на и лемма доказана с в качестве допустимого выбора

Упражнение 5.1. Покажите, что справедлив аналог леммы 5.2, в котором условие (5.5) заменено неравенствами

где вещественная функция класса на такая, что В этом случае зависит только от

Если в лемме 5.1 положить то мы получим такое

Следствие 5.1. Пусть неотрицательные постоянные. Тогда существует такая постоянная (зависящая только от что если функция принадлежит классу на удовлетворяет

Замечание 1. Если в (5.16) удовлетворяет условию то выполнено неравенство (5.5) с

Значит, в следствии. 1 предположение (5.5) при излишне (но пример, предшествующий лемме 5.2, показывает, что при условие (5.5) отбросить нельзя). Далее, если для а в (5.5) имеет место неравенство то выполняется (5.16) с

так что в этом случае условие (5.16) излишне. Но даже если (так что вещественная функция), то условие (5.16) при не может быть отброшено.

Для проверки первой части замечания 1 отметим, что

Отсюда и из (5.16) видно, что Повторное применение неравенства (5.16) дает соотношение

а это есть не что иное, как (5.5) при и К из (5.17). Доказательство той части замечания, которая относится к (5.18), проводится аналогично.

Упражнение 5.2. Покажите, что если то условие (5.5) из следствия 5.1 не может быть отброшено.

В последующем нам пригодится следующий простой факт:

Лемма 5.3. Пусть функция, непрерывная на множестве

и пусть обладает одним (или несколькими) из следующих свойств:

Пусть Тогда существует непрерывная ограниченная функция определенная при и произвольных удовлетворяющая условию

и обладающая соответствующими свойствами из следующей их совокупности:

Доказательство. Искомую функцию мы можем получить следующим образом. Пусть где есть вещественная непрерывная функция, определенная следующим образом: когда

соответственно. Положим

На имеем тождество

из которого ясно, что обладает там требуемыми свойствами. Далее, из справедливости любого из соотношений (5.21) — (5.24) для вытекает его справедливость и для Лемма доказана.

Заметим, что из неравенств типа (5.23), (5.24) следует, что решения уравнения

удовлетворяют соответственно условиям (5.4), (5.5); см. (5.19).

Теорема 5.1. Пусть функция непрерывна на множестве определенном в (5.20), и удовлетворяет неравенствам

(5.24) и (5.23), где положительная непрерывная функция, удовлетворяющая (5.1). Пусть Тогда уравнение (5.26) имеет по крайней мере одно решение, удовлетворяющее условиям

Из доказательства будет ясно, что условие (5.23) при может быть отброшено. Далее, если

где — неотрицательные постоянные и то могут быть отброшены оба условия (5.23) и (5.24).

Если числовая функция -мерный вектор), то вместо леммы 5.2 в доказательстве можно использовать лемму 5.1. Это приводит к такому результату:

Следствие 5.2. Пусть вещественная переменная и вещественная функция из теоремы 5.1. Тогда утверждение теоремы 5.1 будет справедливым, если условие (5.24) отсутствует.

Заметим, что в этом случае условие (5.27) принимает простой вид: для

Доказательство теоремы 5.1. Доказательство сначала будет проводиться для случая, когда удовлетворяет не (5.27), а неравенству (5.22). Пусть есть постоянная, существование которой гарантируется леммой 5.2 (при Пусть непрерывная ограниченная функция для и

произвольных удовлетворяющая неравенствам (5.25), (5.22), (5.23) и (5.24). По теореме 4.2 граничная задача

имеет решение Условие (5.22) означает, что удовлетворяет неравенству при см. (5.19). Значит, ни в одной точке где не достигает максимума. Так как то удовлетворяют условиям и потому для Используя неравенства (5.23) и (5.24) и равенство получаем, что к применима лемма 5.2 и потому для

Соответственно из (5.25) видно, что есть решение уравнения Тем самым теорема 5.1 доказана для того случая, когда условие (5.27) усилено до (5.22). Чтобы устранить это ограничение, заметим, что при функция удовлетворяет условиям теоремы 5.1 так же, как и условию (5.22), если в (5.23) и (5.24) заменены соответственно на . Значит, уравнение

имеет решение удовлетворяющее заданным выше граничным условиям. Ясно, что и существует постоянная зависящая от такая, что Следовательно, если для то II Значит, семейство функций на равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Тогда по теореме Арцела существует последовательность такая, что при существует и является решением уравнения (5.26), удовлетворяющим условиям Теорема 5.1 доказана.

Упражнение 5.3. Покажите, что если в теореме 5.1 условие (5.27) усилено следующим образом:

то уравнение (5.26) имеет решение удовлетворяющее граничным условиям и

Упражнение 5.4. Пусть и — вещественная переменная. Пусть — вещественная функция, непрерывная для и всех и удовлетворяющая следующим условиям: i) при фиксированных функция не убывает по где положительная непрерывная неубывающая для функция, удовлетворяющая (5.1); iii) уравнение

имеет по крайней мере одно решение которое существует на (например, выполнены условия если с постоянными Пусть произвольные числа. Тогда уравнение имеет по крайней мере одно решение, удовлетворяющее условиям и относящейся сюда теореме единственности см. упр. 4.5(c)).

Теорема 5.2. Пусть функция непрерывна в

Пусть для каждого удовлетворяет на условиям теоремы 5.1, где постоянные а, К в (5.23), (5.24) могут зависеть от Пусть Тогда уравнение (5.26) имеет решение которое существует при и удовлетворяет условию

Упражнение Докажите теорему Покажите, что если в теореме 5.2 условие (5.27) усилено до (5.29), то решение может быть выбрано так, что будет иметь место (5.30). (с) Далее, если (5.29) усилено до то для Покажите, что в случае, когда есть -мерный вектор (т. е. числовая функция), условие (5.29) в теореме 5.2 и частях настоящего упражнения может быть отброшено.

Упражнение 5.6. Пусть непрерывна на множестве из (5.31). Пусть для каждого и больших существует непрерывная функция такая, что для больших произвольно. Пусть решение уравнения (5.26) при больших Тогда при

Упражнение 5.7. Пусть непрерывна на множестве (см. (5.31)) и имеет непрерывные частные производные по компонентам векторов пусть матрицы Якоби (4.23) удовлетворяют условию см. (3.17). Пусть Тогда уравнение (5.26) имеет самое большее одно решение, удовлетворяющее условиям

Замечание 2. Основное назначение предположений, связанных в теоремах 5.1, 5.2 с (5.23) и/или (5.24), состоит в том, чтобы выполнялось следующее условие:

Условие Существует постоянная обладающая тем свойством, что если есть решение уравнения для удовлетворяющее условию

Упражнение 5.8. Покажите, что если (5.27) заменено на (5.22) и условия, включающие (5.23) и/или (5.24), заменены условием то теорема 5.1, следствие 5.2 и теорема 5.2 остаются справедливыми. (В случае теоремы 5.2, конечно, предполагается, что условие имеет место для всех больших

Упражнение 5.9. Пусть непрерывна на множестве из (5.31) и удовлетворяет условию для всех Предположим, что для каждого из уравнение (5.26) имеет ровно одно решение существующее при и удовлетворяющее условию (см., например, теорему 5.2 и упр. 5.7). (а) Покажите, что непрерывно зависит от для Предположим, кроме того, что при фиксированных периодична по с периодом Тогда (5.26) имеет по крайней мере одно решение с периодом