§ 4. Более общие стационарные точки

В этом параграфе мы получим результаты, аналогичные рассмотренным в предыдущем параграфе для случая плоских автономных систем вида

где однородные полиномы степени 1 и

Переходя к полярным координатам положим

Тогда будут однородными полиномами от степени

В полярных координатах систему (4.1) можно переписать следующим образом:

где функции

стремятся равномерно к нулю при

Если то для того, чтобы направление было характеристическим, необходимо, чтобы и достаточно чтобы см., например, упр. 2.1. Если полином то он имеет лишь конечное число нулей Тогда из теоремы 2.1 вытекает

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (4.2), (4.3), и пусть Если есть решение системы (4.1) для больших [или удовлетворяющее условию

то для непрерывного продолжения угла или

и или

Рассмотрим сначала следующий вопрос. Пусть Существуют ли тогда решения системы (4.1), удовлетворяющие

условиям (4.8) и Мы всегда можем считать, что так как, если это необходимо, можно сделать поворот осей. Предположим, что точка есть корень кратности для т. е.

Для того чтобы сформулировать нужный результат, введем в рассмотрение сектор

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия (4.2), (4.3), (4.11), и пусть к — целое нечетное число. Тогда при достаточно малых система (4.1) имеет в хотя бы одну полутраекторию с концевой точкой на дуге Для любой такой траектории имеют место соотношения (4.8) и (4.9) с Если, кроме то определена для больших или в соответствии с тем, будет ли или

Упражнение Используя теорему 2.2 (и упр. 2.3), получите достаточные условия единственности (с точностью до замен полутраектории в теореме В дополнение к условиям теоремы 4.2 предположим, что Используя упр. 2.4, которое лучше применить к (4.6), нежели к (4.1), получите достаточные условия единственности Например, покажите, что если функция

удовлетворяет для и малых условию

где функция непрерывна и то единственна.

Доказательство. Если где достаточно малы, то, согласно (4.6) и (4.11), Значит, если то боковые границы сектора являются точками строгого выхода и потому применимо следствие 1.1. Если же , то это следствие становится применимым после замены на Кроме того, из (4.3) вытекает, что применимо также следствие 1.2. Отсюда вытекает существование полутраектории удовлетворяющей соотношению (4.8). А ее свойство (4.9) вытекает из теоремы 4.1, так как число можно взять таким малым, что луч будет в угле единственным характеристическим направлением. Тем самым первая часть теот ремы 4.2 доказана. Вторая часть теоремы доказывается еще проще,

так как вместо следствия 1.1 можно использовать следствие 1.3 (или даже следствие 1.5).

Для того чтобы уточнить теорему 4.2 и рассмотреть случай четного предположим, что

Теорема 4.3. Пусть выполнены условия (4.2), (4.3), (4.11), где есть целое четное число, и пусть (т. е. (4.13) имеет место с Тогда при достаточно малых система (4.1) либо не имеет в ни одной, либо имеет бесконечное число полутраекторий Для любой такой полутраектории справедливы соотношения (4.8) и (4.9) с

Первая часть этого утверждения вытекает из упр. 1.2, а вторая часть — из теоремы 4.1. Относительно различения альтернативных возможностей в теореме 4.3 см. теорему 4.5 и упр. 4.6, 4.7.

Если (так что четно и

то система (4.1) имеет бесконечное число полутраекторий удовлетворяющих (4.8) и (4.9) с см. следствие В следующей теореме мы не будем делать предположения о том, что имеют одинаковую четность; вместо этого мы будем предполагать, что

(Следует отметить, что если и четны, то условие (4.14) не ограничивает общности, так как тогда замена (т. е. ) изменяет знак коэффициента (см. (4.6)) и оставляет без изменения знак коэффициента

Если выполнено (4.14), то можно считать, что

в противном случае нужно заменить на

Упражнение 4.2. Покажите на примерах, что существуют полиномы (у которых четное, нечетное, такие, что система (4.1) ни при каких условиях малости функций не имеет полутраектории удовлетворяющей соотношению (4.8).

Теорема 4.4. Пусть выполнены условия (4.2), (4.3), (4.11), (4.13), (4.15) и (4.16). Тогда существует положительное такое, что если для малых

(т. е. если при функции с некоторым то система (4.1) обладает бесконечным числом

полутраекторий, определенных для и удовлетворяющих (4.8), (4.9)

Прежде чем приступить к доказательству, сделаем следующие замечания. Пусть положительные постоянные, для которых

Пусть положительные и непрерывные для функции, такие, что функции из (4.7) удовлетворяют следующим условиям:

Рис. 7.

и

Из (4.6) следует, что если достаточно малы, то для

Пусть обозначает множество

где произвольная фиксированная постоянная см. рис. 7. Тогда из (4.6) следует, что на

Значит, в вдоль решения системы и потому можно рассматривать как независимую переменную, так что

Кроме того, согласно (4.21) и (4.23),

Теорему 4.4 мы получим из следующей леммы:

Лемма 4.1. Если существует непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяющая неравенствам

то система (4.1) имеет бесконечное число полутраекторий, определенных для и удовлетворяющих (4.8), (4.9) с .

Доказательство. Если ввести новую переменную

то неравенство (4.28) принимает такой вид:

где

Из (4.30) следует, что при Действительно, функция является возрастающей, и если она, а следовательно и имеет положительный предел при то из (4.30) для малых получаем, что Но это противоречит тому, что при . Значит при что и утверждалось.

Пусть так мало, что Пусть есть решение уравнения (4.25), удовлетворяющее начальному условию Согласно (4.27), функция на любом полуинтервале на котором она существует. Так как неравенство (4.26) остается справедливым для всех точек принадлежащих и так как удовлетворяет (4.28), то из теоремы III.4.1 следует, что на любом полуинтервале на котором существует и для которого соответствующая точка Тогда, поскольку ясно, что решение может быть определено на ( и соответствующая точка Лемма доказана.

Доказательство теоремы 4.4. В силу соотношений (4.17) и (4.19) функции можно выбрать так:

Для постоянной которую мы уточним позже, положим

так что

Неравенство (4.28) или (4.30) экгивалентно следующему неравенству:

Так как то ясно, что при достаточно малом выбор числа удовлетворяющего последнему неравенству, вполне возможен. Далее, неравенство с учетом формулы (4.29) принимает вид

Если то при малых это неравенство справедливо, так как Таким образом, выполняются предположения леммы 4.1, и потому теорема 4.4 доказана.

Если в теореме 4.4 , то полученный результат допускает некоторое усиление.

Теорема 4.5. Пусть выполнены условия (4.2), (4.3) и (4.11) с и четным Положим

(i) Пусть Предположим, что функция из (4.7) удовлетворяет неравенству

Тогда система (4.1) имеет бесчисленное множество полутраекторий, определенных для и удовлетворяющих (4.8), (4.9) с .

(ii) Пусть Предположим, что

Тогда не существует ни одной полутраектории, которая бы удовлетворяла

Доказательство утверждения (i) подобно доказательству теоремы 4.4. Пусть определена, как в (4.19), и

Из (4.25) ясно, что если достаточно малы, то, когда выполняются неравенства (4.27) и

Теперь нужно воспользоваться соответствующим аналогом леммы 4.1:

Лемма 4.2. Пусть Если существует непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяющая неравенству

то утверждение (i) теоремы 4.5 справедливо.

Упражнение Докажите лемму Выведите из нее теорему

Для доказательства утверждения (ii) теоремы 4.5 положим и пусть

Тогда при достаточно малых имеем

Лемма 4.3. Пусть Если для каждого малого решение задачи Коши

при некотором удовлетворяет равенству то справедливо утверждение (ii) теоремы 4.5.

Упражнение Докажите лемму Выведите из нее теорему

Упражнение 4.5. Примените теорему 4.5 к случаю (так что (4.1) превращается в систему, рассмотренную в теореме 3.3).

Упражнение 4.6. Из доказательства теоремы ясно, что если есть произвольная непрерывная функция с и если уравнение

имеет в решение то мы можем получить аналоги теоремы заменив в ней условие (4.33) неравенством с подходящим Это упражнение посвящено

отыеканию условий на функцию при выполнении которых уравнение (4.39) имеет в положительные решения. Введем новую независимую переменную положив так что и точка соответствует точке Положив преобразуем (4.39) к следующему виду:

непрерывна при больших Упражнение теперь заключается в нахождении условий на непрерывную функцию обеспечивающих существование при больших положительных решений уравнения (4.40); для случая см. Если функция непрерывна для больших и соответствующее уравнение (4.40) имеет при больших положительное решение, то функцию для краткости будем называть функцией класса Покажите, что если принадлежит классу то . (b) Покажите, что в том и только в том случае, когда для больших существует непрерывно дифференцируемая положительная функция , такая, что

отсюда, если вытекает, что

есть для то Если то

Упражнение 4.7. Сформулируйте аналог теоремы 4.5 (i), используя части (d) и (е) упр. 4.6.

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)