79. Квадратные неравенства.

Квадратным неравенством или неравенством второй степени называется неравенство вида

Так как исследование знака квадратного трехчлена по существу полностью проведено в п. 45 в связи с построением графика этой функции и наглядно представлено на рис. 45, то можно здесь воспользоваться этими результатами. В зависимости от знаков дискриминанта и старшего коэффициента а представляются следующие возможности:

1) . Неравенство (79.1) выполнено при всех значениях а (трехчлен положителен для всех значений аргумента). Этот случай представлен рис. 45, а (см. стр. 132).

2) d < 0, а < 0. Неравенство не выполняется ни для одного значения множество его решений пусто (рис. 45, б).

3) d = 0, а > 0. Такой трехчлен изображен на рис. 45, д; неравенство (79.1) выполняется для всех кроме (двойной корень трехчлена).

4) d = О, а < 0. Неравенство не может выполняться ни при одном значении х (трехчлен отрицателен всюду, кроме единственной точки , где он обращается в нуль; рис. 45, е).

5) . График трехчлена изображен на рис. 45, в. Неравенство (79.1) выполняется всюду вне интервала между корнями.

Если корни трехчлена, причем , то неравенство (79.1) выполняется в бесконечных интервалах

График показан на рис. 5, г; неравенство удовлетворено в интервале между корнями трехчлена

В сжатой форме эти положения о знаке квадратного трехчлена формулируют так: квадратный трехчлен с мнимыми корнями имеет постоянный знак, совпадающий со знаком его старшего коэффициента; квадратный трехчлен с различными действительными корнями имеет в интервале между корнями знак, противоположный знаку его старшего коэффициента, а вне интервала между корнями — знак, совпадающий со знаком старшего коэффициента.

Эти результаты для трехчлена с действительными корнями можно подкрепить следующими типичными рассуждениями, которые окажутся далее (в п. 80) полезными при решении неравенств высших степеней и неравенств, содержащих дробные рациональные функции. Запишем разложение квадратного трехчлена на множители

Очевидно, что в областях трехчлен имеет определенный знак, одинаковый для каждой точки данной области. При переходе же из области в область, т. е. при переходе х через одно из значений знак его изменяется. Теперь достаточно установить знак трехчлена для каждой из трех указанных областей.

1. . Имеем знак трехчлена совпадает со знаком а.

2. ; в этом случае знак трехчлена противоположен знаку а.

3. . Теперь уже и знак трехчлена снова совпадает со знаком а.

Выводы графического и алгебраического исследования полностью совпали.

Пример 1. Решить следующие неравенства:

Решение, а) Преобразуем данное неравенство:

или

Получилось квадратное неравенство, равносильное данному. Замечаем, что дискриминант трехчлена больше нуля и что его корнями служат числа и 1. Таким образом, .

Множество решений данного неравенства состоит из двух бесконечных интервалов: . Этот ответ рекомендуется проверить, построив график трехчлена .

б) После простых преобразований получаем квадратное неравенство

равносильное данному. Дискриминант трехчлена положителен, корнями трехчлена являются числа

Множество решений задается неравенствами — они представляют собой сегмент

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Числа, модуль которых меньше а, заполняют интервал от до . Поэтому неравенство (79.3) равносильно следующим неравенствам:

которые составят систему неравенств второй степени для х:

Рис. 66.

Перепишем их в стандартной форме:

Первое неравенство (решение читатель проведет самостоятельно) имеет множество решений Решения второго неравенства заполняют два бесконечных интервала: . Методом штриховки нетрудно убедиться, что множество решений данного неравенства состоит из двух интервалов: . На рис. 66 показана графическая иллюстрация к данному неравенству.