5.5.в. Поведение за пределами ...

Хотя аттрактор при апериодичен (имеет бесконечный период) и выглядит хаотическим, он в действительности не проявляет достаточно чувствительной зависимости от начальных условий, и поэтому его не следует рассматривать как разновидность странных аттракторов. Это можно подтвердить, вычислив соответствующие показатели Ляпунова. В случае одномерных отображений (см. раздел 4.5) эти показатели вычисляются как

где начальное условие, означает величину определенную в (5.5.11). Показатель Ляпунова для траектории при равен нулю. С ростом А наблюдается возрастание значений показателей для всех траекторий, за исключением расположенных в окрестности точек возникновения циклов с нечетными периодами (в этих точках показатели обращаются в ноль).

Максимальное значение показателя Ляпунова найдено при Можно показать, что в этой точке отображение имеет инвариантную эргодическую меру. При этом значении А отображение (5.5.2) посредством замены переменной легко преобразуется к виду

Преобразованное отображение заключено в интервале — Еще одна замена переменной дает

Это преобразование линейно по в (т.е. и для всех начальных условий, за исключением множества меры нуль, итерации будут равномерно распределены в интервале е. вероятностная мера постоянна. В соответствующем интервале для мера должна быть, следовательно, связана с соотношением

где множитель представляет собой нормировку

Таким образом

Это распределение легко проверить посредством численных итераций (5.5.15) при очень больших располагая итерации в малых областях ширины Нетрудно также показать, что показатель Ляпунова для (5.5.2) равен

Тот факт, что показатели Ляпунова траекторий за пределами могут быть положительными, означает чувствительность к изменению начальных условий. Как такое может быть для одномерных отображений? С учетом сказанного до сих пор может казаться, что соответствующий механизм последовательных растяжений

и складываний, обеспечивающий возникновение хаотического поведения, требует трехмерности фазового пространства в случае потоков (дифференциальных уравнений) и двумерности в случае диффеоморфизмов, т. е. гладких обратимых отображений (которые можно рассматривать как отображения Пуанкаре некоторых потоков более высокой размерности). Суть вопроса заключается в том, что в отличие от рассмотренных ранее двумерных отображений (например, квадратичного отображения Хенона (4.2.11) или отображения аттрактора (5.4.14)), одномерное отображение (5.5.2) необратимо. Поэтому, как легко видеть из рис. 5.25, у итерации имеются два возможных прообраза. Именно эта многозначность обеспечивает желаемый механизм растяжения и складывания. Рассмотрим линейный интервал Как показано на рис. 5.25, его часть растягивается, удваивая свою длину (удвоение имеет место при при увеличение длины меньше), и покрывает интервал Вторая часть исходного интервала также удваивается, но при этом накладывается обратно на интервал Это проясняет, каким образом зависимость от построенная Лоренцом (рис. 5.17) для своего аттрактора, отражает основные черты динамики. Отображение явно нелинейно и, следовательно, допускает хаотическое движение.

Рис. 5.25. (а) Логистическое отображение необратимо, так как каждая итерация имеет два возможных прообраза . (б) Отображение растягивает единичный интервал (1), удваивая его длину (2) и затем заворачивает удвоенную часть обратно на единичный интервал (3)

Другая важная особенность движения за пределами А — появление -циклов (и других циклов с нечетными периодами). Возникновение таких -циклов можно понять, проанализировав свойства При малых А в качестве неподвижных точек могут выступать только неподвижные точки (разумеется, в случае неустойчивые). По мере роста А достигается такое особое значение при котором прямая касается как показано на рис. 5.26. При этом возникает -цикл. Это и есть точка касательной бифуркации. Отметим, что касание происходит тогда, когда наклон (в точках касания) равен (В случае удвоения

периода бифуркация происходила при При каждая из неподвижных точек -цикла превращается в результате бифуркации в пару неподвижных точек, из которых одна устойчива, а другая — неустойчива. Такие бифуркации называются также бифуркациями седло-узел. Их следует отличать от бифуркаций удвоения периода, называемыми также бифуркациями камертона, при которых неустойчивая неподвижная точка превращается в пару устойчивых.

Рис. 5.26. Возникновение траектории -цикла: линия касается в неподвижных точках . Наклон одинаков во всех точках