7.2.д. Преобразование Миуры

Важный аспект анализа законов сохранения для уравнения КдФ, проведенного Миурой, состоял в одновременном изучении близкого по виду уравнения, называемого модифицированным уравнением КдФ (мКдФ), которое имеет вид

Это уравнение может быть выведено по аналогии с уравнением КдФ исходя из решеточной модели Ферми-Улама-Паста, если вместо квадратичной нелинейности взять кубическую. Наряду с набором законов сохранения для уравнения КдФ Миура нашел также соответствующие законы сохранения для уравнения мКдФ. Основной результат заключался в том, что эти два набора законов сохранения связаны «преобразованием Миуры»

где означают решения уравнений соответственно. Если мы, далее, введем обозначения

и

то, учитывая (7.2.29), получим

Основываясь на этих результатах, Миура [12] ввел несколько отличное преобразование вида

где некоторый (малый) параметр. Для этого преобразования

где

известно как уравнение Гарднера. Отметим, что можно также записать в виде закона сохранения:

Идея состоит в том, чтобы разложить в степенной ряд по малому параметру ,

Значение легко находится путем рекуррентного решения (7.2.32):

и так далее. Законы сохранения находим, подставляя (7.2.36) в (7.2.35) и приравнивая одинаковые степени Результат непосредственно следует из того факта, что выражение (7.2.36) само записано в виде закона сохранения. Несколько первых законов сохранения имеют вид

Читатели могут убедиться, что законы (7.2.38а) и (7.2.38в) соответствуют законам сохранения (7.2.24) и (7.2.25) соответственно. (При проверке второго соотношения необходимо использовать (7.2.38а) для преобразования левой части (7.2.38в)). Закон для представляет собой не что иное как производную закона для Это общий результат: законы сохранения, соответствующие нечетным степеням , получаются как производные законов, соответствующих предшествующим четным степеням.