5.5.а. Механизм удвоения периода

Для отображения вида

последовательность итераций, начинающихся в записывается следующим образом:

где означает итерацию функции (а не степень Если линейна по х, эти итерации тривиальны, но в случае нелинейной например

последовательные итерации приводят к полиномам возрастающей степени (для представляет собой полином степени Несмотря на такую сложность, последовательность итераций х, можно проследить с помощью простого графического приема, совместив на одном графике функцию с прямой (рис. 5.21), и перемещаясь последовательно в вертикальном и горизонтальном направлении между этими линиями. Это дает, как показано на рисунке, последовательность итераций

Точка пересечения кривой и прямой (в которой должна соответствовать неподвижной точке последовательности итераций. Эта неподвижная точка легко находится как решение уравнения

которое имеет два корня

Для того, чтобы итерации не выходили за пределы интервала (0,1), потребуем выполнения условий Таким образом, при в этом интервале находится единственная неподвижная точка а при достижимы обе неподвижные точки. Эти точки будут притягивающими или отталкивающими (устойчивыми или неустойчивыми) в зависимости от наклона Рассмотрим неподвижную точку х (в которой и набор значений Разложение в ряд с точностью до первого порядка дает

Заметив, что получаем

Рис. 5.21. (а) Графический способ представления последовательных итераций логистического отображения, (б) Итерации закручиваются по спирали к устойчивой неподвижной точке х. (в) Итерации раскручиваются по спирали от неустойчивой неподвижной точки х

Отсюда видно, что соответствующие итерации будут сходиться только при условии Таким образом,

Это основное условие устойчивости можно также проиллюстрировать графически (рис. 5.21). В случае отображения (5.5.2) устойчивость двух неподвижных точек легко определяется следующим образом. Устанавливаем, что: устойчива при и неустойчива при неустойчива при и устойчива при Таким образом, по крайней мере при поведение (5.5.2) в целом известно. Для все итерации (в интервале сходятся к а для все итерации сходятся к

На первый взгляд может показаться, что при притягивающих неподвижных точек нет. В действительности же устойчивая неподвижная точка при теряя устойчивость при (в этой точке превращается в результате бифуркации в устойчивый -цикл. Тонкость здесь заключается в том, что эти две неподвижные точки (образующие -цикл) являются устойчивыми неподвижными точками композиции функций

Появление этих точек можно понять, проанализировав графики зависимостей представленные на рис. 5.22. Обе функции симметричны относительно но функция имеет один максимум, тогда как функция два (она представляет собой полином четвертой степени). Если х является неподвижной точкой то она будет также неподвижной точкой При например, единственная (устойчивая) неподвижная точка функций

Ее устойчивость можно проверить следующим образом. Зададимся выражением

Рис. 5.22. (а) При является неустойчивой неподвижной точкой , (б) Сложная функция Здесь устойчивые неподвижные точки Наклон функции в обеих точках одинаков

где и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции для вычисления

Полученный результат легко обобщается в виде

Понятно, что для неподвижной точки имеет место равенство следовательно,

Таким образом, если то и а если то и

Другими словами, если х является устойчивой предельной точкой то она также является устойчивой предельной точкой а если неустойчивая предельная точка то она будет также неустойчивой предельной точкой

При точки являются (устойчивыми) неподвижными точками

Но поскольку они не являются при этом неподвижными точками они отображаются под действием друг в друга:

Таким образом, пара точек образует -цикл, и итерация произвольной исходной точки постепенно приведет к последовательности Важно отметить, что наклон в точках одинаков:

так как отображаются друг в друга. Две неподвижные точки таким образом, одновременно устойчивы при а затем при некотором большем значении А становятся одновременно неустойчивыми (когда При этом значении А (обозначим его считая каждая из этих двух точек

Рис. 5.23. Четыре устойчивые неподвижные точки сложной функции Наклон в каждой их этих точек одинаков

превращается в результате бифуркации в две новые неподвижные точки; в результате образуется -цикл, соответствующий неподвижным точкам функции

как показано на рис. 5.23. Как было сказано в начале этого раздела, эта последовательность удвоений периода продолжается и дальше; при этом соответствующие значения сходятся геометрически.

Описанная последовательность (или каскад) удвоений периода универсальна для отображений вида (5.5.5) при условии, что имеет единственный, локально квадратичный, максимум. Эта универсальность имеет глубокие основания и привела к созданию теории функциональной ренормализации групп, тесно связанной с теорией ренормализации, используемой в статистической механике. Прекрасное изложение этих вопросов можно найти в [31, 34].