7.7. Динамика неинтегрируемых эволюционных уравнений

Интегрируемые уравнения в частных производных, допускающие солитонные решения, удивительно часто возникают при выводе реалистических физических моделей для различных одномерных волновых процессов. (В качестве вводного обзора читателю рекомендуется работа Гиббона [27]). Не менее важны тесно связанные с ними нелинейные эволюционные уравнения, которые не являются интегрируемыми и не допускают решений методом ОПР. Поведение таких уравнений варьируется от ограниченных во времени сингулярностей («вспышек») до пространственного хаоса. В этой связи кажется очень вероятным, что проникновение в понимание пространственно-временного хаоса (и, возможно, даже динамической турбулентности в жидкости) может быть достигнуто путем изучения некоторых таких модельных

уравнений. Это необъятное поле для деятельности, однако, чтобы довершить картину исследования хаоса и интегрируемости в динамических системах (в нашем изложении эти два понятия оказались в определенном смысле связанными), мы кратко упомянем некоторые «канонические» модели и их поведение.

7.7.а. Самофокусирующиеся сингулярности

Двумерное нелинейное уравнение Шрёдингера

где обозначает двумерный лапласиан, не может быть решено с помощью метода ОПР. Кроме того, оно допускает решения в виде ограниченных во времени «вспышек» или «самофокусирующихся» сингулярностей. Обычно изучение подобных особенностей решений уравнения (7.7.1) проводят в полярных координатах, в которых уравнение принимает вид

где Выявить наличие особенности можно при помощи довольно простых динамических принципов (см., например, работу Беркшайра и Гиббона [24]). Запишем интегралы движения для уравнения (7.7.2), соответствующие сохранению массы и энергии:

и

Кроме этого, можно определить также момент инерции

который, как можно показать, связан с интегралом энергии соотношением

При подходящем выборе начальных условий и можно добиться, чтобы что, в свою очередь, влечет Таким образом, за ограниченный промежуток времени момент инерции сколлапсирует, т.е. обратится в нуль.

Очень сложно определить истинную природу сингулярности. Этой тематике посвящены многочисленные теоретические исследования (многие из которых восходят к Захарову и его соавторам; см., например, статью Захарова и Сынах [32]). В этой работе было высказано предположение, что сингулярность (во времени) является

алгебраической; другими словами, решение ведет себя как по мере того как время приближается к критическому значению («момент вспышки»), В последующих работах предлагалось рассматривать особенности гораздо более сложной логарифмической структуры (см., например, статью Мак-Лафлина и др. [29]). Присутствие особенностей в решениях нелинейного уравнении Шрёдингера не ограничивается двумерным случаем. Они могут присутствовать и в общем уравнении

где -мерный лапласиан, а а указывает на порядок нелинейности. Для каждого найдется такое значение для которого будет наблюдаться самофокусирующаяся сингулярность в решении. Например, одномерное нелинейное уравнение Шрёдингера четвертого порядка

допускает сингулярные решения. В цитированной выше работе Захарова и Сынах предполагалось алгебраическое поведение этой сингулярности: однако опять-таки кажется, что реальная ситуация гораздо сложнее.

7.7.б. Уравнения Захарова

Во многих физических областях возникает интерес смоделировать взаимодействие длинных волн с короткими. Так, например, в теории ленгмюровских волн в физике плазмы взаимодействие между быстро осциллирующим электрическим полем и и медленно меняющейся плотностью ионов имеет вид

Эта система известна как одномерные уравнения Захарова. Уравнения подобного типа возникают также в моделях возбуждений в идеализированных цепочках предложенных Давыдовым [26]. Важная черта уравнений (7.7.9) проявляется в пределе больших С. В этом случае уравнение (7.7.96) принимает вид другими словами, оказывается прямо пропорциональным и и (7.7.9а) сводится к интегрируемому нелинейному уравнению Шрёдингера, обладающему солитонными решениями. Однако общая система (7.7.9) не является интегрируемой и не может быть решена методом ОПР. Численные расчеты показывают, что система способна на очень сложное поведение. Напротив, если уравнения (7.7.9) сводятся к «одноволновой» форме путем факторизации оператора к виду получаем систему

которая является интегрируемой и допускает применение метода ОПР.

Для физически более реалистичных приложений особенно важным оказывается двумерный вариант (7.7.9), а именно

В этом случае в пределе больших С (7.7.11а) сводится к двумерному нелинейному уравнению Шрёдингера, в котором возможно появление самофокусирующейся сингулярности. Путем численного моделирования системы (7.7.11) обнаружена богатая структура ее решений, включающая «вспышку», сопровождающуюся «затуханием». (Неплохой обзор этих явлений в контексте физики плазмы был дан Голдманом [28].)

7.7.в. Когерентность и хаос

Хорошей моделью для изучения пространственно-временного хаоса является одномерное уравнение -Гордона в поле внешней силы (с затуханием):

Обычно рассматривают решения этого уравнения с периодическими граничными условиями, когда Детальный численный анализ уравнения (7.7.12), проведенный Бишопом и др. [25], показал, что данная система обладает богатым поведением по мере варьирования параметров внешней силы и затухания а. Однако структура пространственной части решений оказывается обычно когерентной, т. е. проявляются черты лишь небольшого числа хорошо выраженных пространственных мод. Особенно впечатляет тот факт, что эта пространственная когерентность сохраняется даже тогда, когда временная эволюция становится хаотичной. Становится ясным, что солитонная структура невозмущенной системы может быть довольно стабильной.

Во многих задачах статистической механики и динамики жидкости часто фигурируют два уравнения: уравнение Гинзбурга-Ландау и тесно связанное с ним уравнение Ньюеля-Уайтхеда. Типичный вид этих уравнений в случае одного пространственного измерения следующий:

где (комплексная) амплитуда некоторой нестабильной моды, являются подгоночными параметрами, которые могут быть комплексными. Это уравнение может быть обобщено на высшие размерности; оно характеризуется огромным разнообразием в поведении — от когерентности до хаоса — в зависимости от выбранных значений параметров. Выяснение свойств этих уравнений является бурно развивающейся областью исследований.

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)