6.5.е. Теоремы локализации

Изменения волновых функций в обоих примерах, рассмотренных в разделе 6.5.г, несомненно связаны, в той или иной степени, с соответствующими изменениями в лежащей в их основе классической динамике. Вместе с тем в обоих случаях нелегко установить непосредственную однозначную взаимосвязь между изменениями в классическом и квантовом случаях. В регулярном случае это возможно вследствие того, что известно квазиклассическое выражение для волновой функции. Для нерегулярного движения проводить прямое сопоставление гораздо сложнее, что является отражением недостаточного понимания квазиклассической механики в этом случае. Единственный на сегодняшний день (строгий) результат — это теоремы локализации, из которых следует, что локализация последовательностей квантовых состояний

в пределе определяется областями классического фазового пространства, наделенным инвариантной мерой [33,26]. Очевидно, что в случае регулярных состояний в качестве инвариантного множества выступает инвариантный тор. Одним из возможных инвариантных множеств для нерегулярных систем является энергетическая поверхность с мерой Лиувилля . Но наряду с этим, в качестве возможных кандидатов могут выступать и другие инвариантные множества.