8.3.д. Структура сингулярностей неинтегрируемых систем

Рассмотрим вкратце некоторые чрезвычайно сложные структуры, которые могут возникать в комплексной плоскости в случае неинтегрируемых систем, хотя эта тема и выходит за рамки данной книги. Один из примеров — система Хенона-Хейлеса при (т. е. в первоначальном виде). Особенности случая (1) этой системы имеют следующие ведущие порядки:

и резонансы:

Для особенностей случая (2):

Таким образом, в общем (четырехпараметрическом) решении могут появляться оба типа особенностей. Отметим, что ведущий порядок в случае (2) совпадает с резонансом случая (1). Это, как оказалось, может иметь место лишь при значениях А, равных и -1/2, в чем можно убедиться, решив уравнение Численные расчеты [10] показали, что в комплексной -плоскости особенности группируются в подобные в себе спирали. В результате образуются чрезвычайно сложные

распределения сингулярностей фрактального типа. Такие повторяющие себя на разных масштабах скопления особенностей образуют в комплексной -плоскости естественную границу, за которую решение не может быть аналитически продолжено. Локальное разложение в окрестности данной комплексной особенности может быть формально представлено как пси-ряд, имеющий (для особенностей случая (1)) вид

где

Аналогичные формальные разложения могут быть записаны и для особенностей в случае (2). Необходимо подчеркнуть, что разложения (8.3.39) «формальны» в том смысле, что неясно (из-за повторяющихся скоплений особенностей), имеют ли они конечный радиус сходимости. Тем не менее оказалось, что подробный анализ этих разложений позволяет точно установить геометрию наблюдаемых сингулярных структур.

В случае уравнений Лоренца неинтегрируемые случаи описываются логарифмическими рядами вида

где

если условия совместности не выполняются уже для первого резонанса, и

если условия совместности нарушаются в первый раз для второго резонанса. Численный анализ [13] уравнения Лоренца и тесно связанного с ним уравнения Дюффинга показал, что повторяющиеся скопления сингулярностей образуют в этом случае в комплексной -плоскости -конечные звезды, причем в случае (8.3.41) и в случае (8.3.42). Эти структуры также могут быть предсказаны аналитически. Более того, весьма подробный анализ логарифмических пси-рядов, который вполне может быть осуществлен аналитически, дает очень интересное представление о свойствах соответствующего неинтегрируемого движения.